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Chapitre IX. Le cas archimédien
On va commencer par prouver
(5) la fonction t → a k,l (tγ, V ) est rationnelle sur T
θ,0 (C) ; il existe un entier
n k,l ∈ N tel que la fonction t → D
˜
G
(tγ)
n k,l a k,l (tγ, V ) soit régulière sur
T
θ,0 (C).
Comme ci-dessus, cette assertion ne dépend pas du choix des bases. En conséquence, on suppose que (H l ) l∈N est formé d’éléments homogènes et que la base
(Y k ) k∈N est formée des symétrisés des éléments E((α), γ, ζ) introduits dans le paragraphe précédent. Rappelons que l’homomorphisme de symétrisation identifie
Sym(q) à un sous-espace de U(G) et que, modulo cette identification, on a l’isomorphisme U(G) = Sym(t)⊗ C Sym(q). Ainsi, la famille (H l Y k ) k,l∈N est une base de
U(G). Elle est formée de vecteurs propres pour l’action de T
θ,0 (C). Par linéarité, on
peut supposer que V est l’un de ces éléments de base H l0 Y k0 , et on peut raisonner
par récurrence sur le degré de cet élément. Ecrivons simplement Y = Y k0 , H = H l0 .
Si k 0 = 0, on a simplement V = Γ tγ (Y 0 ⊗ H) pour tout t ∈ T
θ,0 (C) et l’assertion
(5) est claire. Remarquons que V est invariant par l’action adjointe de T
θ,0 (C) et
que l’assertion (ii) du lemme est tout aussi claire. Supposons k 0 ≥ 1. L’élément
Y est le symétrisé de X 1 · · · X a , où chaque X i est un élément E((α), γ, ζ). Ainsi,
pour chaque i = 1, . . . , a, il existe une racine α i ∈ Σ(T ) et un élément ν i ∈ C
× de
sorte que ad t (X i ) = α i,res (t)X i pour tout t ∈ T
θ,0 (C) et ad γ (X i ) = ν i X i . On a
Γ tγ (X 1 · · · X a ⊗ H)
= (R adtγ (X1) − L X1 ) · · · (R adtγ (Xa) − L Xa )H
= (R adtγ (X1) − R X1 + R X1 − L X1 )
. . . (R adtγ (Xa) − R Xa + R Xa − L Xa )H
= (c 1 (t)R X1 + R X1 − L X1 ) · · · (c a (t)R Xa + R Xa − L Xa )H,
où c i (t) = ν i α i,res (t) − 1. On développe cette expression en séparant les termes
c i (t)R Xi des R Xi − L Xi . Ces deux opérateurs envoient un vecteur propre pour
l’action adjointe de T
θ,0 (C) sur un tel vecteur propre. De plus, le second opérateur
fait baisser strictement le degré. On obtient une expression
Γ tγ (X 1 · · · X a ⊗ H) =
i=1,...,a
c i (t)
HX a · · · X 1
+
b=0,...,a−1
1≤i1<···i b ≤a
j=1,...,b
c ij (t)
V i1,...,i b ,
où les V i1,...,i b sont des éléments de U(G) de degré strictement inférieur à celui de
V et qui sont propres pour l’action adjointe de T
θ,0 . En symétrisant, on obtient
une formule analogue
Γ tγ (Y ⊗ H) =
i=1,...,a
c i (t)
V +
b=0,...,a−1
1≤i1<···i b ≤a
j=1,...,b
c ij (t)
V
i1,...,i b ,
Chapitre IX. Le cas archimédien
On va commencer par prouver
(5) la fonction t → a k,l (tγ, V ) est rationnelle sur T
θ,0 (C) ; il existe un entier
n k,l ∈ N tel que la fonction t → D
˜
G
(tγ)
n k,l a k,l (tγ, V ) soit régulière sur
T
θ,0 (C).
Comme ci-dessus, cette assertion ne dépend pas du choix des bases. En conséquence, on suppose que (H l ) l∈N est formé d’éléments homogènes et que la base
(Y k ) k∈N est formée des symétrisés des éléments E((α), γ, ζ) introduits dans le paragraphe précédent. Rappelons que l’homomorphisme de symétrisation identifie
Sym(q) à un sous-espace de U(G) et que, modulo cette identification, on a l’isomorphisme U(G) = Sym(t)⊗ C Sym(q). Ainsi, la famille (H l Y k ) k,l∈N est une base de
U(G). Elle est formée de vecteurs propres pour l’action de T
θ,0 (C). Par linéarité, on
peut supposer que V est l’un de ces éléments de base H l0 Y k0 , et on peut raisonner
par récurrence sur le degré de cet élément. Ecrivons simplement Y = Y k0 , H = H l0 .
Si k 0 = 0, on a simplement V = Γ tγ (Y 0 ⊗ H) pour tout t ∈ T
θ,0 (C) et l’assertion
(5) est claire. Remarquons que V est invariant par l’action adjointe de T
θ,0 (C) et
que l’assertion (ii) du lemme est tout aussi claire. Supposons k 0 ≥ 1. L’élément
Y est le symétrisé de X 1 · · · X a , où chaque X i est un élément E((α), γ, ζ). Ainsi,
pour chaque i = 1, . . . , a, il existe une racine α i ∈ Σ(T ) et un élément ν i ∈ C
× de
sorte que ad t (X i ) = α i,res (t)X i pour tout t ∈ T
θ,0 (C) et ad γ (X i ) = ν i X i . On a
Γ tγ (X 1 · · · X a ⊗ H)
= (R adtγ (X1) − L X1 ) · · · (R adtγ (Xa) − L Xa )H
= (R adtγ (X1) − R X1 + R X1 − L X1 )
. . . (R adtγ (Xa) − R Xa + R Xa − L Xa )H
= (c 1 (t)R X1 + R X1 − L X1 ) · · · (c a (t)R Xa + R Xa − L Xa )H,
où c i (t) = ν i α i,res (t) − 1. On développe cette expression en séparant les termes
c i (t)R Xi des R Xi − L Xi . Ces deux opérateurs envoient un vecteur propre pour
l’action adjointe de T
θ,0 (C) sur un tel vecteur propre. De plus, le second opérateur
fait baisser strictement le degré. On obtient une expression
Γ tγ (X 1 · · · X a ⊗ H) =
i=1,...,a
c i (t)
HX a · · · X 1
+
b=0,...,a−1
1≤i1<···i b ≤a
j=1,...,b
c ij (t)
V i1,...,i b ,
où les V i1,...,i b sont des éléments de U(G) de degré strictement inférieur à celui de
V et qui sont propres pour l’action adjointe de T
θ,0 . En symétrisant, on obtient
une formule analogue
Γ tγ (Y ⊗ H) =
i=1,...,a
c i (t)
V +
b=0,...,a−1
1≤i1<···i b ≤a
j=1,...,b
c ij (t)
V
i1,...,i b ,