IX.1. Stabilisation d’une famille d’équations différentielles
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pour X 1 , . . . , X a ∈ q et U ∈ Sym(t). On a noté L X et R X les applications Y → XY
et Y → Y X de U(G) dans lui-même. D’après [37] lemme 22, cette application se
restreint en un isomorphisme d’espaces vectoriels
Sym(q) ⊗ C Sym(t) → U(G).
Fixons des bases (Y k ) k∈N de Sym(q) et (H l ) l∈N de Sym(t). Pour tout V ∈ U(G) et
tout γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C), on peut écrire de façon unique
(2)
V =
k,l
a k,l (γ, V )Γ γ (Y k ⊗ H l )
où a k,l (γ, V ) ∈ C et a k,l (γ, V ) = 0 pour presque tout (k, l).
Remarques.
(3) Les preuves de Harish-Chandra concernent le cas non tordu, mais leur extension au cas tordu est immédiate. On les reprendra d’ailleurs partiellement
ci-dessous.
(4) Ici et dans la suite, il y a de légères différences avec les références citées dues
au fait que nous provilégions les actions par translations à gauche alors que
les auteurs cités utilisent les translations à droite.
Supposons que Y 0 = 1 tandis que le terme constant de Y k est nul si k ≥ 1.
Lemme. Soient V ∈ U(G) et k, l ∈ N.
(i) La fonction γ → a k,l (γ, V ) est rationnelle sur ˜
T ˜
G -reg (C). Plus précisément,
il existe un entier n k,l ∈ N tel que la fonction γ → D
˜
G
(γ)
n k,l a k,l (γ, V ) se
prolonge en un polynôme sur ˜
T (C).
(ii) Supposons que k ≥ 1 et que V est invariant par l’action adjointe de T
θ,0 (C).
Soient γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C), Δ une base de Σ(T ) et (t j ) j∈N une suite d’éléments
de T
θ,0 (C). On suppose que t j γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C) pour tout j et que l’image de la
suite dans T
(C) tend vers l’infini selon Δ. Alors lim j→∞ a k,l (t j γ, V ) = 0.
Preuve. Si on change les bases (Y k ) k∈N et (H l ) l∈N en d’autres bases (Y
k ) k∈N et
(H
l ) l∈N , on obtient de nouveaux coefficients a
k,l (γ, V ) qui se déduisent des précédents par un système d’équations linéaires. Il est clair que les assertions de l’énoncé
pour ces nouveaux coefficients sont équivalentes aux mêmes assertions pour les anciens. On a donc le choix des bases (Y k ) k∈N et (H l ) l∈N . Fixons γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C). La
fonction t → a k,l (tγ, V ) est définie pour presque tout t ∈ T (C) (précisément pour
les t tels que tγ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C)). On la restreint à T
θ,0 (C).
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pour X 1 , . . . , X a ∈ q et U ∈ Sym(t). On a noté L X et R X les applications Y → XY
et Y → Y X de U(G) dans lui-même. D’après [37] lemme 22, cette application se
restreint en un isomorphisme d’espaces vectoriels
Sym(q) ⊗ C Sym(t) → U(G).
Fixons des bases (Y k ) k∈N de Sym(q) et (H l ) l∈N de Sym(t). Pour tout V ∈ U(G) et
tout γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C), on peut écrire de façon unique
(2)
V =
k,l
a k,l (γ, V )Γ γ (Y k ⊗ H l )
où a k,l (γ, V ) ∈ C et a k,l (γ, V ) = 0 pour presque tout (k, l).
Remarques.
(3) Les preuves de Harish-Chandra concernent le cas non tordu, mais leur extension au cas tordu est immédiate. On les reprendra d’ailleurs partiellement
ci-dessous.
(4) Ici et dans la suite, il y a de légères différences avec les références citées dues
au fait que nous provilégions les actions par translations à gauche alors que
les auteurs cités utilisent les translations à droite.
Supposons que Y 0 = 1 tandis que le terme constant de Y k est nul si k ≥ 1.
Lemme. Soient V ∈ U(G) et k, l ∈ N.
(i) La fonction γ → a k,l (γ, V ) est rationnelle sur ˜
T ˜
G -reg (C). Plus précisément,
il existe un entier n k,l ∈ N tel que la fonction γ → D
˜
G
(γ)
n k,l a k,l (γ, V ) se
prolonge en un polynôme sur ˜
T (C).
(ii) Supposons que k ≥ 1 et que V est invariant par l’action adjointe de T
θ,0 (C).
Soient γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C), Δ une base de Σ(T ) et (t j ) j∈N une suite d’éléments
de T
θ,0 (C). On suppose que t j γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C) pour tout j et que l’image de la
suite dans T
(C) tend vers l’infini selon Δ. Alors lim j→∞ a k,l (t j γ, V ) = 0.
Preuve. Si on change les bases (Y k ) k∈N et (H l ) l∈N en d’autres bases (Y
k ) k∈N et
(H
l ) l∈N , on obtient de nouveaux coefficients a
k,l (γ, V ) qui se déduisent des précédents par un système d’équations linéaires. Il est clair que les assertions de l’énoncé
pour ces nouveaux coefficients sont équivalentes aux mêmes assertions pour les anciens. On a donc le choix des bases (Y k ) k∈N et (H l ) l∈N . Fixons γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C). La
fonction t → a k,l (tγ, V ) est définie pour presque tout t ∈ T (C) (précisément pour
les t tels que tγ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C)). On la restreint à T
θ,0 (C).