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Chapitre IX. Le cas archimédien
Pour tout m ∈ N, on en déduit l’égalité
(2)
∂ H
1
(1 − (α)(γ)) m =
−m N α, H (α)(γ)
(1 − (α)(γ)) m+1
=
m N α, H
(1 − (α)(γ)) m −
m N α, H
(1 − (α)(γ)) m+1 .
En introduisant l’ordre sur les racines relatif à la base Δ fixée, on peut récrire
D
˜
G
(γ) =
α∈Σ(T ) θ ,α>0
(1 − (α)(γ))(1 − (α)(γ)
−1 )
=
α∈Σ(T ) θ ,α>0
−(α)(γ)
−1 (1 − (α)(γ))
2 .
Fixons γ. Pour γ
voisin de γ, on peut choisir des racines carrées (α)(γ
)
1/2 qui
sont C
∞ en γ
. On peut supposer que
D
˜
G
(γ
)
1/2 =
α∈Σ(T ) θ ,α>0
i(α)(γ
)
−1/2 (1 − (α)(γ
))
au voisinage de γ, où i est une racine carrée de −1. En utilisant cette formule et
la relation (1), on obtient
(3)
∂ H,, (γ) = ∂ H +
α∈Σ(T ) θ ,α>0
N α, H
1
2
−
1
1 − (α)(γ)
.
Cela vérifie le lemme pour H ∈ t.
En raisonnant par récurrence sur le dégré de H, il reste à vérifier l’assertion
suivante. Soient H ∈ t et H
∈ Sym(t). Supposons que le lemme soit vérifié pour
H
. Alors il l’est pour HH
. La formule (2) montre que ∂ H conserve l’ensemble des
fonctions qui sont combinaisons linéaires de produits de fonctions γ →
1
(1−(α)(γ)) m
pour m ∈ N et α ∈ Σ(T ) θ , α > 0. L’assertion résulte alors facilement de (3).
IX.1.5 Une application d’Harish-Chandra
Notons Tens(q) l’algèbre tensorielle de q. Il contient le sous-espace Sym(q). Soit
γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C). On définit une application linéaire
Γ γ : Tens(q) ⊗ C Sym(t) → U(G)
par
(1)
Γ γ (X 1 · · · X a ⊗ H) = (R adγ (X1) − L X1 ) · · · (R adγ (Xa) − L Xa )H