IX.1. Stabilisation d’une famille d’équations différentielles
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La famille (E(α), γ, ζ)) ζ∈ζ nα est une base de l’espace g (α) =
m=0,...,nα−1 g θ m (α) .
Notons q le sous-espace de g engendré par les algèbres de Lie des radicaux unipotents de B et du sous-groupe de Borel opposé ¯
B.
La famille (E(α), γ, ζ)) α∈Σ(T ) θ ,ζ∈ζ nα est une base de q.
Si l’on remplace γ par tγ, avec t ∈ T
θ,0 , on peut supposer ν (α) (tγ) =
α res (t)ν (α) (γ), où α res est la restriction de α à T
θ,0 . On a alors E((α), tγ, ζ) =
E((α), γ, ζ). Les familles ci-dessus sont donc indépendantes de t. Remarquons que
E((α), γ, ζ) est vecteur propre pour l’action ad tγ , de valeur propre ζα res (t)ν (α) (γ)
et est aussi vecteur propre pour l’action ad t , de valeur propre α res (t).
Posons
D
˜
G
(γ) =
α∈Σ(T ) θ
ζ∈ζ nα
(1 − ζν (α) (γ)) =
α∈Σ(T ) θ
(1 − (α)(γ)).
Remarque. Ce terme est défini pour γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C) et appartient à C
× . Il appartient à R
× si γ ∈ ˜
T (R). En [I] 2.4, on a défini un terme D
˜
G (γ) pour γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R).
On a l’égalité
D
˜
G (γ) = |D
˜
G
(γ) det((1 − θ) t/t θ )| R .
Puisque la restriction de D
˜
G
à ˜
T ˜
G -reg (R) est à valeurs réelles non nulles, on
peut choisir une racine carrée (D
˜
G
)
1/2 qui soit une fonction C
∞ sur ˜
T ˜
G -reg (R).
Pour H ∈ Sym(t) ou H ∈ Sym(t) θ,ω , on définit l’opérateur
∂ H,, ∈ Diff
∞ ( ˜
T ˜
G -reg )
ω -inv
par l’égalité
∂ H,, = (D
˜
G
)
1/2
◦ ∂ H ◦ (D
˜
G
)
−1/2 .
Cela ne dépend pas du choix de la racine carrée (D
˜
G
)
1/2 . Ecrivons
∂ H,, =
U∈B
b(U ; H)∂ U .
Les termes b(U ; H) sont des éléments de C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv . On note b(U ; γ, H)
leurs valeurs en un point γ.
Lemme. Soient H ∈ Sym(t) et U ∈ B. Alors la fonction b(U ; H) est combinaison
linéaire de produits de fonctions γ →
1
(1−(α)(γ)) m pour m ∈ N et α ∈ Σ(T ) θ , α > 0.
Preuve. Supposons d’abord H ∈ t. Pour α ∈ Σ(T ) θ et γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R), on calcule
(1)
∂ H (α)(γ) = − −N α, H (α)(γ).