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Chapitre IX. Le cas archimédien
(1) pour tout γ
∈ ˜
T
(C) et pour toute suite (t
k ) k∈N d’éléments de T
(C) tendant vers l’infini selon Δ et telle que t
k γ
∈ ˜
T
˜
G -reg
(C) pour tout k, on a
lim k→∞ ϕ(t
k γ
) = c.
On peut remplacer «pour tout γ
∈ ˜
T
(C)» par «il existe γ
∈ ˜
T
(C) tel
que. . .», on obtient une condition équivalente. On notera lim γ →Δ∞ ϕ(γ
) = c si
cette condition est vérifiée.
Fixons une base B de Sym(t) θ,ω . Pour tout z ∈ Z(G), l’opérateur δ
˜
G
˜
M
(z)
s’écrit de façon unique comme une somme finie
δ
˜
G
˜
M
(z) =
U∈B
q
˜
G
˜
M
(U ; z)∂ U ,
où les q
˜
G
˜
M
(U ; z) sont des éléments de C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv . On note q
˜
G
˜
M
(U ; γ, z) la
valeur de cette fonction en un point γ.
Proposition. Supposons ˜
M = ˜
G. Soient z ∈ Z(G) et U ∈ B.
(i) La fonction q
˜
G
˜
M
(U ; z) est la restriction à ˜
T ˜
G -reg (R) d’une fonction rationnelle
régulière sur ˜
T
˜
G -reg
(C), que l’on note encore q
˜
G
˜
M
(U ; z).
(ii) Pour toute base Δ de Σ(T ), on a lim γ →Δ∞ q
˜
G
˜
M
(U ; γ
, z) = 0.
Cette proposition sera prouvée en 1.5. Remarquons que le (i) est vrai aussi
si ˜
M = ˜
G en vertu de 1.2(2).
IX.1.4 Rappels sur l’action adjointe
Pour deux racines α, β ∈ Σ(T ), disons qu’elles sont dans la même orbite si et
seulement s’il existe m ∈ N tel que β = θ
m α. On note (α) l’orbite de α. Fixons un
ensemble de représentants Σ(T ) θ ⊂ Σ(T ) des orbites. On complète (B, T ) en une
paire de Borel épinglée E en fixant des éléments non nuls E α ∈ g α pour α ∈ Δ,
où g α ⊂ g est la droite radicielle associée à α. On fixe e ∈ Z( ˜
G, E) et on définit
l’automorphisme θ = ad e de G. Pour α ∈ Σ(T ) θ , fixons un élément non nul E α
de g α . On suppose que c’est l’élément déjà fixé si α ∈ Δ. Pour m = 1, . . . , n α − 1,
posons E θ m α = θ
m (E α ). C’est un élément non nul de g θ m α . D’après [48] 1.3,
on a θ
nα (E α ) = α E α , où α = 1 si α est de type 1 ou 2 et α = −1 si α
est de type 3. Soit γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C). On écrit γ = t γ e, avec t γ ∈ T . On pose
(α)(γ) = α
m=0,...,nα−1 θ
m (α)(t γ ). On en fixe une racine n α -ième ν (α) (γ) et on
note ζ nα le groupe des racines n α -ièmes de 1. Pour ζ ∈ ζ nα , posons
E((α), γ, ζ) =
m=0,...,nα−1
ν (α) (γ)
−m ζ
−m
j=0,...,m
θ
j (α)(t γ )
E θ m (α) .
On vérifie que
ad γ (E((α), γ, ζ)) = ν (α) (γ)ζE((α), γ, ζ).
Chapitre IX. Le cas archimédien
(1) pour tout γ
∈ ˜
T
(C) et pour toute suite (t
k ) k∈N d’éléments de T
(C) tendant vers l’infini selon Δ et telle que t
k γ
∈ ˜
T
˜
G -reg
(C) pour tout k, on a
lim k→∞ ϕ(t
k γ
) = c.
On peut remplacer «pour tout γ
∈ ˜
T
(C)» par «il existe γ
∈ ˜
T
(C) tel
que. . .», on obtient une condition équivalente. On notera lim γ →Δ∞ ϕ(γ
) = c si
cette condition est vérifiée.
Fixons une base B de Sym(t) θ,ω . Pour tout z ∈ Z(G), l’opérateur δ
˜
G
˜
M
(z)
s’écrit de façon unique comme une somme finie
δ
˜
G
˜
M
(z) =
U∈B
q
˜
G
˜
M
(U ; z)∂ U ,
où les q
˜
G
˜
M
(U ; z) sont des éléments de C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv . On note q
˜
G
˜
M
(U ; γ, z) la
valeur de cette fonction en un point γ.
Proposition. Supposons ˜
M = ˜
G. Soient z ∈ Z(G) et U ∈ B.
(i) La fonction q
˜
G
˜
M
(U ; z) est la restriction à ˜
T ˜
G -reg (R) d’une fonction rationnelle
régulière sur ˜
T
˜
G -reg
(C), que l’on note encore q
˜
G
˜
M
(U ; z).
(ii) Pour toute base Δ de Σ(T ), on a lim γ →Δ∞ q
˜
G
˜
M
(U ; γ
, z) = 0.
Cette proposition sera prouvée en 1.5. Remarquons que le (i) est vrai aussi
si ˜
M = ˜
G en vertu de 1.2(2).
IX.1.4 Rappels sur l’action adjointe
Pour deux racines α, β ∈ Σ(T ), disons qu’elles sont dans la même orbite si et
seulement s’il existe m ∈ N tel que β = θ
m α. On note (α) l’orbite de α. Fixons un
ensemble de représentants Σ(T ) θ ⊂ Σ(T ) des orbites. On complète (B, T ) en une
paire de Borel épinglée E en fixant des éléments non nuls E α ∈ g α pour α ∈ Δ,
où g α ⊂ g est la droite radicielle associée à α. On fixe e ∈ Z( ˜
G, E) et on définit
l’automorphisme θ = ad e de G. Pour α ∈ Σ(T ) θ , fixons un élément non nul E α
de g α . On suppose que c’est l’élément déjà fixé si α ∈ Δ. Pour m = 1, . . . , n α − 1,
posons E θ m α = θ
m (E α ). C’est un élément non nul de g θ m α . D’après [48] 1.3,
on a θ
nα (E α ) = α E α , où α = 1 si α est de type 1 ou 2 et α = −1 si α
est de type 3. Soit γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (C). On écrit γ = t γ e, avec t γ ∈ T . On pose
(α)(γ) = α
m=0,...,nα−1 θ
m (α)(t γ ). On en fixe une racine n α -ième ν (α) (γ) et on
note ζ nα le groupe des racines n α -ièmes de 1. Pour ζ ∈ ζ nα , posons
E((α), γ, ζ) =
m=0,...,nα−1
ν (α) (γ)
−m ζ
−m
j=0,...,m
θ
j (α)(t γ )
E θ m (α) .
On vérifie que
ad γ (E((α), γ, ζ)) = ν (α) (γ)ζE((α), γ, ζ).