IX.1. Stabilisation d’une famille d’équations différentielles
985
Preuve. Notons δ
˜
G
˜
M (zz
) le membre de droite de cette égalité. Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)),
notons ψ ˜
M (f ) la fonction γ → I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ). L’égalité (1) prend la forme
(4)
ψ ˜
M (zf ) =
˜
L∈L( ˜
M)
δ
˜
L
˜
M
(z ˜
L )ψ ˜
L (f ).
Remplaçons dans cette égalité f par z
f . Développons ensuite chaque terme
ψ ˜
L (z
f ) par la même égalité où l’on remplace z par z
et ˜
M par ˜
L. On obtient
facilement l’égalité
ψ ˜
M (zz
f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
δ
˜
L
˜
M
((zz
) ˜
L )ψ ˜
L (f ).
En raisonnant par récurrence, on peut supposer que
δ
˜
L
˜
M
((zz
) ˜
L ) = δ
˜
L
˜
M
((zz
) ˜
L )
pour tout ˜
L = ˜
G. En comparant l’égalité précédente avec l’égalité (1) où z est
remmplacé par zz
, on en déduit l’égalité
(5)
(δ
˜
G
˜
M
(zz
) − δ
˜
G
˜
M
(zz
))ψ ˜
G (f ) = 0.
Soit γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R). L’espaces des germes au point γ des fonctions ψ ˜
G (f ) quand f
décrit C
∞
c ( ˜
G(R)) est égal à celui des germes des fonctions ϕ pour
ϕ ∈ C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv .
On en déduit que 0 est le seul élément de Diff
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv qui annule toute
fonction ψ ˜
G (f ). L’égalité (5) entraîne alors la conclusion de (3).
IX.1.3 Propriétés des opérateurs δ
˜
G
˜
M
(z)
On note Σ(T ) l’ensemble des racines de T dans G. A tout élément α ∈ Σ(T ), on
associe le plus petit entier n α ≥ 1 tel que θ
nα (α) = α. On définit un élément N α ∈
X
∗ (T ) par N α =
k=0,...,nα−1 θ
k (α). Il se descend en un élément de X
∗ (T
). On
pose α T = N α si α est de type 1 ou 3, α T = 2N α si α est de type 2 (cf. [I] 1.6).
On pose Σ(T
) = {α T ; α ∈ Σ(T )}. C’est un système de racines en général non
réduit. Fixons un sous-groupe de Borel B de G de tore maximal T et invariant par
θ. Notons Δ la base de Σ(T ) associée à B. On dira qu’une suite (t
k ) k∈N d’éléments
de T
(C) tend vers l’infini selon Δ si et seulement si, lim k→∞ |α T (t
k )| = ∞ pour
tout α ∈ Δ. Considérons une fonction ϕ : ˜
T
˜
G -reg
(C) → C et un nombre complexe
c. Introduisons la condition
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Preuve. Notons δ
˜
G
˜
M (zz
) le membre de droite de cette égalité. Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)),
notons ψ ˜
M (f ) la fonction γ → I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ). L’égalité (1) prend la forme
(4)
ψ ˜
M (zf ) =
˜
L∈L( ˜
M)
δ
˜
L
˜
M
(z ˜
L )ψ ˜
L (f ).
Remplaçons dans cette égalité f par z
f . Développons ensuite chaque terme
ψ ˜
L (z
f ) par la même égalité où l’on remplace z par z
et ˜
M par ˜
L. On obtient
facilement l’égalité
ψ ˜
M (zz
f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
δ
˜
L
˜
M
((zz
) ˜
L )ψ ˜
L (f ).
En raisonnant par récurrence, on peut supposer que
δ
˜
L
˜
M
((zz
) ˜
L ) = δ
˜
L
˜
M
((zz
) ˜
L )
pour tout ˜
L = ˜
G. En comparant l’égalité précédente avec l’égalité (1) où z est
remmplacé par zz
, on en déduit l’égalité
(5)
(δ
˜
G
˜
M
(zz
) − δ
˜
G
˜
M
(zz
))ψ ˜
G (f ) = 0.
Soit γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R). L’espaces des germes au point γ des fonctions ψ ˜
G (f ) quand f
décrit C
∞
c ( ˜
G(R)) est égal à celui des germes des fonctions ϕ pour
ϕ ∈ C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv .
On en déduit que 0 est le seul élément de Diff
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv qui annule toute
fonction ψ ˜
G (f ). L’égalité (5) entraîne alors la conclusion de (3).
IX.1.3 Propriétés des opérateurs δ
˜
G
˜
M
(z)
On note Σ(T ) l’ensemble des racines de T dans G. A tout élément α ∈ Σ(T ), on
associe le plus petit entier n α ≥ 1 tel que θ
nα (α) = α. On définit un élément N α ∈
X
∗ (T ) par N α =
k=0,...,nα−1 θ
k (α). Il se descend en un élément de X
∗ (T
). On
pose α T = N α si α est de type 1 ou 3, α T = 2N α si α est de type 2 (cf. [I] 1.6).
On pose Σ(T
) = {α T ; α ∈ Σ(T )}. C’est un système de racines en général non
réduit. Fixons un sous-groupe de Borel B de G de tore maximal T et invariant par
θ. Notons Δ la base de Σ(T ) associée à B. On dira qu’une suite (t
k ) k∈N d’éléments
de T
(C) tend vers l’infini selon Δ si et seulement si, lim k→∞ |α T (t
k )| = ∞ pour
tout α ∈ Δ. Considérons une fonction ϕ : ˜
T
˜
G -reg
(C) → C et un nombre complexe
c. Introduisons la condition