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Chapitre IX. Le cas archimédien
Rappelons que l’on note U(G) l’algèbre enveloppante de la complexifiée de
l’algèbre de Lie g de G et que l’on note Z(G) le centre de U(G). On dispose
d’homomorphismes
Z(G) → Z(M ),
Z(G) → Z(T )
z
→
z M ,
z
→ z T .
L’algèbre Z(T ) s’identifie à Sym(t). L’homomorphisme z → z T identifie Z(G) à la
sous-algèbre des invariants Sym(t)
W , où W est le groupe de Weyl de G relatif à T .
L’algèbre U(G) agit sur C
∞
c ( ˜
G(R)) via les translations à gauche. Il s’en déduit une
action de Z(G) sur I( ˜
G(R), ω). Cette action se quotiente en l’action d’une algèbre
quotient Z(G) θ,ω . Celle-ci est isomorphe à Sym(t)
W
θ
θ,ω .
Pour simplifier, on fixe des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant.
Pour γ ∈ ˜
M (R)∩ ˜
G reg (R) et pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)), on sait définir l’intégrale orbitale
pondérée ω-équivariante I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ), cf. [81] 6.5. La fonction γ → I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f )
appartient à C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv .
Arthur démontre en [9] proposition 11.1 et [17] paragraphe 1 qu’il existe une
unique application linéaire
Z(G) → Diff
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv
z
→
δ
˜
G
˜
M
(z)
qui vérifie la propriété suivante :
– pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)), tout γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R) et tout z ∈ Z(R), on a l’égalité
(1)
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, zf ) =
˜
L∈L( ˜
M)
δ
˜
L
˜
M
(γ, z ˜
L )I
˜
G
˜
L
(γ, ω, f ).
On a noté δ
˜
L
˜
M
(γ, z ˜
L ) la valeur au point γ de δ
˜
L
˜
M
(z ˜
L ) et on a utilisé la notation
introduite dans le paragraphe précédent.
On vérifie formellement que δ
˜
G
˜
M
(z) ne dépend que de l’image de z dans
Z(G) θ,ω . On pourra donc considérer que δ
˜
G
˜
M
(z) est défini pour z ∈ Z(G) θ,ω .
D’autre part, d’après [9] lemme 12.4,
(2) si ˜
M = ˜
G, on a simplement δ
˜
G
˜
G
(γ, z) = ∂ zT pour tout z ∈ Z(G) et tout
γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R).
Montrons que
(3) pour z, z
∈ Z(G), on a l’égalité
δ
˜
G
˜
M
(zz
) =
˜
L∈L( ˜
M)
δ
˜
L
˜
M
(z ˜
L ) ◦ δ
˜
G
˜
L
(z
).