IX.1. Stabilisation d’une famille d’équations différentielles
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On pose
Diff
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv = C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
inv
⊗ C Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv .
Cet espace agit naturellement sur C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv : pour
ϕ
∈ C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
inv , D ∈ Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv et ϕ ∈ C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv ,
(ϕ
⊗ D)(ϕ) est la fonction définie par ((ϕ
⊗ D)(ϕ))(γ) = ϕ
(γ)(Dϕ)(γ). Il est
clair que l’on peut munir Diff
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv d’une unique structure d’algèbre
telle que cette action devienne une action d’algèbres. On note (D, D
) → D ◦ D
le produit pour cette structure.
Notation. Un élément δ ∈ Diff
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv sera plutôt considéré comme une
fonction C
∞ de ˜
T ˜
G -reg (R) dans Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv . On notera δ(γ) sa valeur en
un point γ. Pour ϕ ∈ C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv , on notera δ(γ)ϕ(γ) la valeur en γ de
la fonction δϕ.
Les ensembles T (C) et ˜
T (C) sont des variétés algébriques complexes. On
peut donc parler de fonctions polynomiales, rationnelles, holomorphes ou méromorphes sur ces ensembles. Par exemple, l’espace des polynômes sur T (C) est
engendré linéairement par les caractères algébriques, c’est-à-dire les éléments de
X
∗ (T ). Introduisons le tore T
= T /(1 − θ)(T ) et l’espace ˜
T
= ˜
T /(1 − θ)(T ).
On peut de même définir les espaces de fonctions polynomiales, rationnelles etc. . .
sur T
(C) ou ˜
T
(C). L’ensemble ˜
T ˜
G -reg est invariant par conjugaison par T , donc
aussi par produit avec (1 − θ)(T ). Cela permet d’introduire le sous-ensemble
˜
T
˜
G -reg
= ˜
T ˜
G -reg /(1 − θ)(T ) de ˜
T
. On appelle fonction rationnelle régulière sur
˜
T
˜
G -reg
(C) une fonction rationnelle sur ˜
T
(C) qui n’a pas de pôle dans ˜
T
˜
G -reg
(C).
Notons P ol( ˜
T
˜
G -reg
(C)) l’espace de ces fonctions. La restriction de ˜
T ˜
G -reg (C) à
˜
T ˜
G -reg (R) définit une application
P ol( ˜
T
˜
G -reg
(C)) → C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
inv .
Elle est injective. Son image est conservée par l’action de tout opérateur différentiel
sur ˜
T (R) invariant par translations à gauche. Posons
Diff
reg ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv = P ol( ˜
T
˜
G -reg
(C)) ⊗ C Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv .
L’application ci-dessus permet d’identifier cet espace à une sous-algèbre de
Diff
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv .
IX.1.2 Les équations différentielles
Pour la suite de la section, on fixe un espace de Levi ˜
M de ˜
G et un sous-tore tordu
maximal ˜
T de ˜
M . On suppose que ω est trivial sur T (R)
θ .