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Chapitre IX. Le cas archimédien
Dans tout le chapitre, le corps de base est R mais nos résultats s’étendent au
cas du corps de base C. On renvoie à [V] section 7 pour la justification élémentaire
de cette affirmation.
IX.1 Stabilisation d’une famille d’équations différentielles
IX.1.1 Opérateurs différentiels
Dans cette section, le corps de base est R. Soit (G, ˜
G, a) un triplet comme en [IV]
1.1. Fixons un tore tordu maximal ˜
T de ˜
G. On note θ l’automorphisme ad γ de T
pour n’importe quel élément γ ∈ ˜
T . On suppose que ω est trivial sur T (R)
θ . On
pose ˜
T ˜
G -reg = ˜
T ∩ ˜
G reg .
Tout élément H ∈ t(R) définit un opérateur différentiel ∂ H sur T (R). Précisément, nous privilégions les actions à gauche. C’est-à-dire que, pour une fonction
f sur T (R) on a (∂ H f )(t) =
d
dx f (exp(−xH)t) |x=0 . L’application H → ∂ H s’étend
linéairement à t = t(C), puis s’étend en un isomorphisme noté ∂ de l’algèbre
Sym(t) sur l’algèbre des opérateurs différentiels sur T (R) invariants par translations à gauche par T (R). En fixant un élément γ ∈ ˜
T (R), on peut identifier T (R)
à ˜
T (R) par t → tγ. Ainsi Sym(t) est aussi isomorphe à l’algèbre des opérateurs
différentiels sur ˜
T (R) invariants par translations à gauche par T (R).
Notons C
∞ ( ˜
T (R))
ω -inv l’espace des fonctions ϕ : ˜
T (R) → C qui sont C
∞
et vérifient la relation ϕ(t
−1 γt) = ω(t
−1 )ϕ(γ) pour tous γ ∈ ˜
T (R) et t ∈ T (R).
Un opérateur différentiel sur ˜
T (R) invariant par translations à gauche par T (R)
conserve cet espace.
On note Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv l’espace des restrictions à C
∞ ( ˜
T (R))
ω -inv d’opérateurs différentiels invariants par translations à gauche. On a introduit en [IV]
1.2 un élément ˜
μ(ω) ∈ h
∗ . L’espace h
∗ s’identifie naturellement à t
∗ , on peut
donc considérer que ˜
μ(ω) appartient à t
∗ . C’est un élément central, invariant
par le groupe de Weyl W de T (C) dans G(C). Pour H ∈ (1 − θ)(t) et ϕ ∈
C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv , on a l’égalité ∂ H ϕ = H, ˜
μ(ω) ϕ. Notons I θ,ω l’idéal de
Sym(t) engendré par les H − −H, ˜
μ(ω) pour H ∈ (1 − θ)(t) et notons Sym(t) θ,ω le
quotient Sym(t)/I θ,ω . L’application H → ∂ H se quotiente en un isomorphisme de
Sym(t) θ,ω sur Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv . Afin de ne pas surcharger les notations, pour H ∈
Sym(t) θ,ω , on notera encore ∂ H l’image de cet opérateur dans Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv .
Remarquons que Sym(t) θ,ω s’identifie à l’algèbre des polynômes sur l’espace affine
˜
μ(ω)+t
∗,θ . Remarquons aussi que l’homomorphisme naturel Sym(t
θ ) → Sym(t) θ,ω
est un isomorphisme.
En remplaçant ˜
T (R) par ˜
T ˜
G -reg (R), on définit comme ci-dessus l’espace
C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv .
Notons C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
inv l’espace des fonctions ϕ : ˜
T ˜
G -reg (R) → C qui sont
C
∞ et vérifient la relation ϕ(t
−1 γt) = ϕ(γ) pour tous γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R) et t ∈ T (R).
Chapitre IX. Le cas archimédien
Dans tout le chapitre, le corps de base est R mais nos résultats s’étendent au
cas du corps de base C. On renvoie à [V] section 7 pour la justification élémentaire
de cette affirmation.
IX.1 Stabilisation d’une famille d’équations différentielles
IX.1.1 Opérateurs différentiels
Dans cette section, le corps de base est R. Soit (G, ˜
G, a) un triplet comme en [IV]
1.1. Fixons un tore tordu maximal ˜
T de ˜
G. On note θ l’automorphisme ad γ de T
pour n’importe quel élément γ ∈ ˜
T . On suppose que ω est trivial sur T (R)
θ . On
pose ˜
T ˜
G -reg = ˜
T ∩ ˜
G reg .
Tout élément H ∈ t(R) définit un opérateur différentiel ∂ H sur T (R). Précisément, nous privilégions les actions à gauche. C’est-à-dire que, pour une fonction
f sur T (R) on a (∂ H f )(t) =
d
dx f (exp(−xH)t) |x=0 . L’application H → ∂ H s’étend
linéairement à t = t(C), puis s’étend en un isomorphisme noté ∂ de l’algèbre
Sym(t) sur l’algèbre des opérateurs différentiels sur T (R) invariants par translations à gauche par T (R). En fixant un élément γ ∈ ˜
T (R), on peut identifier T (R)
à ˜
T (R) par t → tγ. Ainsi Sym(t) est aussi isomorphe à l’algèbre des opérateurs
différentiels sur ˜
T (R) invariants par translations à gauche par T (R).
Notons C
∞ ( ˜
T (R))
ω -inv l’espace des fonctions ϕ : ˜
T (R) → C qui sont C
∞
et vérifient la relation ϕ(t
−1 γt) = ω(t
−1 )ϕ(γ) pour tous γ ∈ ˜
T (R) et t ∈ T (R).
Un opérateur différentiel sur ˜
T (R) invariant par translations à gauche par T (R)
conserve cet espace.
On note Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv l’espace des restrictions à C
∞ ( ˜
T (R))
ω -inv d’opérateurs différentiels invariants par translations à gauche. On a introduit en [IV]
1.2 un élément ˜
μ(ω) ∈ h
∗ . L’espace h
∗ s’identifie naturellement à t
∗ , on peut
donc considérer que ˜
μ(ω) appartient à t
∗ . C’est un élément central, invariant
par le groupe de Weyl W de T (C) dans G(C). Pour H ∈ (1 − θ)(t) et ϕ ∈
C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv , on a l’égalité ∂ H ϕ = H, ˜
μ(ω) ϕ. Notons I θ,ω l’idéal de
Sym(t) engendré par les H − −H, ˜
μ(ω) pour H ∈ (1 − θ)(t) et notons Sym(t) θ,ω le
quotient Sym(t)/I θ,ω . L’application H → ∂ H se quotiente en un isomorphisme de
Sym(t) θ,ω sur Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv . Afin de ne pas surcharger les notations, pour H ∈
Sym(t) θ,ω , on notera encore ∂ H l’image de cet opérateur dans Diff
cst ( ˜
T (R))
ω -inv .
Remarquons que Sym(t) θ,ω s’identifie à l’algèbre des polynômes sur l’espace affine
˜
μ(ω)+t
∗,θ . Remarquons aussi que l’homomorphisme naturel Sym(t
θ ) → Sym(t) θ,ω
est un isomorphisme.
En remplaçant ˜
T (R) par ˜
T ˜
G -reg (R), on définit comme ci-dessus l’espace
C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
ω -inv .
Notons C
∞ ( ˜
T ˜
G -reg (R))
inv l’espace des fonctions ϕ : ˜
T ˜
G -reg (R) → C qui sont
C
∞ et vérifient la relation ϕ(t
−1 γt) = ϕ(γ) pour tous γ ∈ ˜
T ˜
G -reg (R) et t ∈ T (R).