Introduction
981
Dans la section 5, on définit les variantes «compactes» des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes. Ici, on peut travailler de nouveau avec un triplet (G, ˜
G, a). Pour γ ∈ ˜
M (R) qui est fortement régulier dans ˜
G et pour f ∈
C
∞
c ( ˜
G(R)), on note
c I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) cette intégrale. Elle a beaucoup de propriétés
communes avec l’intégrale plus usuelle I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ). Mais, pour f fixée, elle est
à support compact en γ ∈ ˜
M (R), à conjugaison près par M (R). Pour définir
c I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ), on ne peut pas utiliser la même construction que dans le cas nonarchimédien (cette dernière était directement tirée d’Arthur). La possible infinité
des hyperplans polaires des caractères pondérés invalide cette construction. On
commence par définir de nouveaux caractères pondérés en supprimant dans la définition de [14] les fonctions Γ qui peuvent créer une infinité de pôles. Ces nouveaux
termes n’ont plus qu’un nombre fini d’hyperplans polaires. La définition est adaptée pour que ces nouveaux termes se stabilisent aussi aisément que ceux définis
par Arthur. On doit avouer que cette définition est un peu artificielle. On pourrait
sans doute la rendre plus conceptuelle en utilisant les récents résultats de Mezo
([61]). Notre unique excuse pour ne pas utiliser ceux-ci est que l’on a commencé ce
travail alors que l’article de Mezo n’était pas encore disponible. Dans une seconde
étape, on reprend la construction du cas non-archimédien, en l’appliquant à nos
nouveaux caractères pondérés.
Les sections 6 et 7 sont consacrés à la stabilisation des intégrales
c I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ).
La méthode est similaire à celle du cas non-archimédien.
Dans la section 8, on construit l’application K ˜
M qui est le but principal du
chapitre. Sa définition est similaire à celle du cas non-archimédien. Montrer que
l’application ainsi construite est équivariante pour les actions de Z(G) est facile
en utilisant les résultats des deux premières sections. Par contre, prouver qu’elle
conserve la K-finitude nécessite du travail supplémentaire. On utilise pour cela
la version symétrique de la formule des traces locale, développée dans [12] dans
le cas non tordu et étendue au cas général dans [62]. Celle-ci permet d’exprimer
I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, ω, f ) en termes de l’image de f dans l’espace de Paley–Wiener. C’est-à-dire
que l’on obtient grosso-modo une expression
I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, ω, f ) =
ξ(γ, ˜
π)I
K ˜
G (˜ π, f )d˜ π,
où ˜
π parcourt les ω-représentations tempérées de K ˜
G(R).
La fonction (γ, ˜
π) → ξ(γ, ˜
π) possède des singularités qui sont assez raisonnables. Un résultat analogue vaut pour l’intégrale endoscopique I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, ω, f )
donc aussi pour I
K ˜
M (γ, ω, , K ˜
M (f )). De ce résultat et de l’équivariance pour les
actions de Z(G) se déduit la conservation de la K-finitude par des méthodes standard.
Notons que K ˜
M (f ) est définie pour tout f (à support compact et K-finie) :
contrairement au cas non-archimédien, on n’impose pas que f s’annule au voisinage
des classes de conjugaison exceptionnelles.
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Dans la section 5, on définit les variantes «compactes» des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes. Ici, on peut travailler de nouveau avec un triplet (G, ˜
G, a). Pour γ ∈ ˜
M (R) qui est fortement régulier dans ˜
G et pour f ∈
C
∞
c ( ˜
G(R)), on note
c I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) cette intégrale. Elle a beaucoup de propriétés
communes avec l’intégrale plus usuelle I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ). Mais, pour f fixée, elle est
à support compact en γ ∈ ˜
M (R), à conjugaison près par M (R). Pour définir
c I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ), on ne peut pas utiliser la même construction que dans le cas nonarchimédien (cette dernière était directement tirée d’Arthur). La possible infinité
des hyperplans polaires des caractères pondérés invalide cette construction. On
commence par définir de nouveaux caractères pondérés en supprimant dans la définition de [14] les fonctions Γ qui peuvent créer une infinité de pôles. Ces nouveaux
termes n’ont plus qu’un nombre fini d’hyperplans polaires. La définition est adaptée pour que ces nouveaux termes se stabilisent aussi aisément que ceux définis
par Arthur. On doit avouer que cette définition est un peu artificielle. On pourrait
sans doute la rendre plus conceptuelle en utilisant les récents résultats de Mezo
([61]). Notre unique excuse pour ne pas utiliser ceux-ci est que l’on a commencé ce
travail alors que l’article de Mezo n’était pas encore disponible. Dans une seconde
étape, on reprend la construction du cas non-archimédien, en l’appliquant à nos
nouveaux caractères pondérés.
Les sections 6 et 7 sont consacrés à la stabilisation des intégrales
c I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ).
La méthode est similaire à celle du cas non-archimédien.
Dans la section 8, on construit l’application K ˜
M qui est le but principal du
chapitre. Sa définition est similaire à celle du cas non-archimédien. Montrer que
l’application ainsi construite est équivariante pour les actions de Z(G) est facile
en utilisant les résultats des deux premières sections. Par contre, prouver qu’elle
conserve la K-finitude nécessite du travail supplémentaire. On utilise pour cela
la version symétrique de la formule des traces locale, développée dans [12] dans
le cas non tordu et étendue au cas général dans [62]. Celle-ci permet d’exprimer
I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, ω, f ) en termes de l’image de f dans l’espace de Paley–Wiener. C’est-à-dire
que l’on obtient grosso-modo une expression
I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, ω, f ) =
ξ(γ, ˜
π)I
K ˜
G (˜ π, f )d˜ π,
où ˜
π parcourt les ω-représentations tempérées de K ˜
G(R).
La fonction (γ, ˜
π) → ξ(γ, ˜
π) possède des singularités qui sont assez raisonnables. Un résultat analogue vaut pour l’intégrale endoscopique I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, ω, f )
donc aussi pour I
K ˜
M (γ, ω, , K ˜
M (f )). De ce résultat et de l’équivariance pour les
actions de Z(G) se déduit la conservation de la K-finitude par des méthodes standard.
Notons que K ˜
M (f ) est définie pour tout f (à support compact et K-finie) :
contrairement au cas non-archimédien, on n’impose pas que f s’annule au voisinage
des classes de conjugaison exceptionnelles.