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Chapitre IX. Le cas archimédien
considère un K-espace de Levi K ˜
M de K ˜
G et on va construire une application
f → K ˜
M (f ). L’introduction des K-espaces n’est qu’une complication mineure.
Plus sérieusement, pour que l’application f → K ˜
M (f ) soit utilisable, on doit
montrer qu’elle vérifie des propriétés supplémentaires. D’une part, elle doit être
équivariante en un sens facile à préciser pour l’action du centre Z(G) de l’algèbre
enveloppante de l’algèbre de Lie de G. D’autre part, on définit facilement la notion de fonction K-finie sur K ˜
G(R) ou de fonction K
M -finie sur K ˜
M (R). Si f est
K-finie, la fonction K ˜
M (f ) doit être K
M -finie. En fait, l’action de Z(G) comme
les questions de K-finitude vont intervenir non seulement dans le résultat mais
dans la construction elle-même de l’application K ˜
M . En particulier, K ˜
M (f ) n’est
définie que pour une fonction f qui est K-finie. Il y a enfin une dernière différence
avec le cas non-archimédien, qui porte sur les propriétés des caractères pondérés.
Dans une série d’articles, Arthur avait défini ceux-ci en utilisant des opérateurs
d’entrelacement normalisés. En conséquence, ces opérateurs, que l’on peut faire
dépendre d’une variable parcourant un espace vectoriel complexe, étaient méromorphes avec un nombre fini d’hyperplans polaires. Dans l’article [14], Arthur a
introduit une nouvelle définition des caractères pondérés. Pour stabiliser ceux-ci,
il est nécessaire d’utiliser cette nouvelle définition. Fâcheusement, sur le corps de
base réel, ces nouveaux opérateurs peuvent avoir un nombre infini d’hyperplans
polaires, parce qu’il intervient des fonctions Γ qui ont une infinité de pôles. Cela
conduit à modifier substantiellement la construction de l’application K ˜
M .
Dans les deux premières sections, on étudie comment se transforment sous
l’action de Z(G) les intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes et leurs avatars endoscopiques. Ces actions se réalisent par des opérateurs différentiels et on
montre que ces opérateurs sont les mêmes pour les deux types d’intégrales. Il s’agit
de la version tordue du résultat qu’Arthur démontre dans [17]. Notre démonstration est différente de celle d’Arthur. Elle consiste à prouver d’abord l’égalité des
opérateurs différentiels associés à l’élément de Casimir de Z(G), ce que l’on fait par
un calcul explicite. On montre ensuite que, pour un élément général de Z(G), les
opérateurs différentiels associés à cet élément vérifient des propriétés formelles de
commutation aux mêmes opérateurs associés au Casimir. Ces propriétés sont suffisamment fortes pour que l’égalité prouvée par ces derniers se propage en l’égalité
des opérateurs différentiels associés à un élément quelconque de Z(G).
La section 3 traite des majorations locales vérifiées par les intégrales orbitales
pondérées ω-équivariantes et leurs avatars endoscopiques. Pour les premières, on
dispose des majorations établies par Arthur dans [9]. On montre que celles-ci sont
aussi vérifiées par les variantes endoscopiques.
La section 4 étudie les sauts des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
et de leurs avatars endoscopiques. De nouveau, ces sauts sont connus grâce à Arthur pour les premiers types d’intégrales. On montre que les avatars endoscopiques
satisfont les mêmes relations de sauts. La démonstration ressemble beaucoup à
celle de Shelstad concernant les intégrales orbitales non pondérées, cf. [74], ainsi
qu’à celle de l’article [22] d’Arthur.
Chapitre IX. Le cas archimédien
considère un K-espace de Levi K ˜
M de K ˜
G et on va construire une application
f → K ˜
M (f ). L’introduction des K-espaces n’est qu’une complication mineure.
Plus sérieusement, pour que l’application f → K ˜
M (f ) soit utilisable, on doit
montrer qu’elle vérifie des propriétés supplémentaires. D’une part, elle doit être
équivariante en un sens facile à préciser pour l’action du centre Z(G) de l’algèbre
enveloppante de l’algèbre de Lie de G. D’autre part, on définit facilement la notion de fonction K-finie sur K ˜
G(R) ou de fonction K
M -finie sur K ˜
M (R). Si f est
K-finie, la fonction K ˜
M (f ) doit être K
M -finie. En fait, l’action de Z(G) comme
les questions de K-finitude vont intervenir non seulement dans le résultat mais
dans la construction elle-même de l’application K ˜
M . En particulier, K ˜
M (f ) n’est
définie que pour une fonction f qui est K-finie. Il y a enfin une dernière différence
avec le cas non-archimédien, qui porte sur les propriétés des caractères pondérés.
Dans une série d’articles, Arthur avait défini ceux-ci en utilisant des opérateurs
d’entrelacement normalisés. En conséquence, ces opérateurs, que l’on peut faire
dépendre d’une variable parcourant un espace vectoriel complexe, étaient méromorphes avec un nombre fini d’hyperplans polaires. Dans l’article [14], Arthur a
introduit une nouvelle définition des caractères pondérés. Pour stabiliser ceux-ci,
il est nécessaire d’utiliser cette nouvelle définition. Fâcheusement, sur le corps de
base réel, ces nouveaux opérateurs peuvent avoir un nombre infini d’hyperplans
polaires, parce qu’il intervient des fonctions Γ qui ont une infinité de pôles. Cela
conduit à modifier substantiellement la construction de l’application K ˜
M .
Dans les deux premières sections, on étudie comment se transforment sous
l’action de Z(G) les intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes et leurs avatars endoscopiques. Ces actions se réalisent par des opérateurs différentiels et on
montre que ces opérateurs sont les mêmes pour les deux types d’intégrales. Il s’agit
de la version tordue du résultat qu’Arthur démontre dans [17]. Notre démonstration est différente de celle d’Arthur. Elle consiste à prouver d’abord l’égalité des
opérateurs différentiels associés à l’élément de Casimir de Z(G), ce que l’on fait par
un calcul explicite. On montre ensuite que, pour un élément général de Z(G), les
opérateurs différentiels associés à cet élément vérifient des propriétés formelles de
commutation aux mêmes opérateurs associés au Casimir. Ces propriétés sont suffisamment fortes pour que l’égalité prouvée par ces derniers se propage en l’égalité
des opérateurs différentiels associés à un élément quelconque de Z(G).
La section 3 traite des majorations locales vérifiées par les intégrales orbitales
pondérées ω-équivariantes et leurs avatars endoscopiques. Pour les premières, on
dispose des majorations établies par Arthur dans [9]. On montre que celles-ci sont
aussi vérifiées par les variantes endoscopiques.
La section 4 étudie les sauts des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
et de leurs avatars endoscopiques. De nouveau, ces sauts sont connus grâce à Arthur pour les premiers types d’intégrales. On montre que les avatars endoscopiques
satisfont les mêmes relations de sauts. La démonstration ressemble beaucoup à
celle de Shelstad concernant les intégrales orbitales non pondérées, cf. [74], ainsi
qu’à celle de l’article [22] d’Arthur.