Chapitre IX
Propriétés des intégrales orbitales
pondérées ω-équivariantes
sur le corps réel
Introduction
Dans le chapitre précédent, on a établi le résultat suivant. Soient F un corps local
non-archimédien de caractéristique nulle, G un groupe réductif connexe défini sur
F , ˜
G un espace tordu sous G et a un élément de H
1 (W F ; Z( ˆ
G)) auquel est associé
un caractère ω de G(F ), lequel est supposé unitaire. Soit de plus ˜
M un espace
de Levi de ˜
G. Pour toute fonction f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), nulle au voisinage de certaines
classes de conjugaison dites exceptionnelles, il existe une fonction cuspidale ˜
M (f )
sur ˜
M (F ) telle que
I
˜
M (γ, ω, , ˜
M (f )) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, ω, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f )
pour tout γ ∈ ˜
M (F ) qui est fortement régulier dans ˜
G. On renvoie aux chapitres
précédents pour les définitions de ces termes. La fonction ˜
M (f ) est localement
constante mais on n’a pas prouvé qu’elle était à support compact. Mais elle est
«de Schwartz» en un sens que l’on a défini en [VIII] (en fait, on prouvera au
chapitre X que ˜
M (f ) = 0 mais ce n’est pas encore d’actualité).
Dans le présent chapitre, on se propose de démontrer essentiellement le même
résultat, le corps de base étant maintenant R. Ce changement de corps de base
induit plusieurs différences. D’abord, on doit souvent travailler non pas avec un
triplet (G, ˜
G, a), mais avec (KG, K ˜
G, a), où K ˜
G est un K-espace tordu, cf. [I]
1.11. Comme on l’a déjà dit plusieurs fois, les K-espaces tordus sont nécessaires
pour qu’il y ait une correspondance bijective entre l’espace des intégrales orbitales sur K ˜
G(R) à support elliptique et la somme sur les données endoscopiques
elliptiques G
des espaces d’intégrales orbitales stables sur ces données, à support elliptique. On renvoie pour cela à [I] 4.9 et à la remarque de [VI] 4.5. On
© Springer International Publishing Switzerland 2016
C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_
979
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Propriétés des intégrales orbitales
pondérées ω-équivariantes
sur le corps réel
Introduction
Dans le chapitre précédent, on a établi le résultat suivant. Soient F un corps local
non-archimédien de caractéristique nulle, G un groupe réductif connexe défini sur
F , ˜
G un espace tordu sous G et a un élément de H
1 (W F ; Z( ˆ
G)) auquel est associé
un caractère ω de G(F ), lequel est supposé unitaire. Soit de plus ˜
M un espace
de Levi de ˜
G. Pour toute fonction f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), nulle au voisinage de certaines
classes de conjugaison dites exceptionnelles, il existe une fonction cuspidale ˜
M (f )
sur ˜
M (F ) telle que
I
˜
M (γ, ω, , ˜
M (f )) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, ω, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f )
pour tout γ ∈ ˜
M (F ) qui est fortement régulier dans ˜
G. On renvoie aux chapitres
précédents pour les définitions de ces termes. La fonction ˜
M (f ) est localement
constante mais on n’a pas prouvé qu’elle était à support compact. Mais elle est
«de Schwartz» en un sens que l’on a défini en [VIII] (en fait, on prouvera au
chapitre X que ˜
M (f ) = 0 mais ce n’est pas encore d’actualité).
Dans le présent chapitre, on se propose de démontrer essentiellement le même
résultat, le corps de base étant maintenant R. Ce changement de corps de base
induit plusieurs différences. D’abord, on doit souvent travailler non pas avec un
triplet (G, ˜
G, a), mais avec (KG, K ˜
G, a), où K ˜
G est un K-espace tordu, cf. [I]
1.11. Comme on l’a déjà dit plusieurs fois, les K-espaces tordus sont nécessaires
pour qu’il y ait une correspondance bijective entre l’espace des intégrales orbitales sur K ˜
G(R) à support elliptique et la somme sur les données endoscopiques
elliptiques G
des espaces d’intégrales orbitales stables sur ces données, à support elliptique. On renvoie pour cela à [I] 4.9 et à la remarque de [VI] 4.5. On
© Springer International Publishing Switzerland 2016
C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_
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