IX.2. Endoscopie et opérateurs différentiels
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sont des isomorphismes. Ce groupe commun est un tore complexe de dimension 1.
La restriction de ˆ
α à ce tore n’est pas triviale. Il en résulte que l’on peut trouver
˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ tel que N ˆ
α(s) = 1, autrement dit la somme en ˜
s cidessus est non vide. On ne perd alors rien à supposer que ˜
ζ lui-même vérifie cette
condition. En posant ˜
s = ˜
ζt avec t ∈ ˆ
T , la somme sur les ˜
s tels que N α ∈ Σ
˜
G
(˜ s)
devient une somme sur les t tels que N ˆ
α(t) = 1. Puisque t est invariant par ˆ
θ,
cette dernière condition équivaut à ˆ
α(t)
nα = 1. Considérons un tel t et ˜
s = ˜
ζt
l’élément correspondant. Pour β ∈ Σ
G (T ) θ − Σ
M (T ) θ , notons ˆ
β ∗ la restriction de
ˆ
β à Z( ˆ
M
)
Γ R . Parmi les β tels que ˆ
β ∈ Σ
ˆ
G
(˜ s) , on peut en fixer un tel que que ˆ
β ∗
soit indivisible et que ˆ
α ∗ = k
ˆ
G
(˜ s) (ˆ α) ˆ
β ∗ . Le groupe Z( ˆ
G
(˜ s))
Γ R est égal à celui des
z ∈ Z( ˆ
M
)
Γ R tel que ˆ
β(z) = 1. Il contient le groupe des z ∈ Z( ˆ
M )
Γ R ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 tels
que ˆ
β(z) = 1. Donc
[Z( ˆ
G
(˜ s))
Γ R : Z( ˆ
G)
Γ R ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ]
= [{z ∈ Z( ˆ
M
)
Γ R ; ˆ
β(z) = 1} : {z ∈ Z( ˆ
M )
Γ R ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ; ˆ
β(z) = 1}]
[{z ∈ Z( ˆ
M )
Γ R ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ; ˆ
β(z) = 1} : Z( ˆ
G)
Γ R ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ].
Puisque ˆ
β n’est pas trivial sur Z( ˆ
M )
Γ R ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 , l’homomorphisme
{z ∈ Z( ˆ
M
)
Γ R ; ˆ
β(z) = 1}/{z ∈ Z( ˆ
M )
Γ R ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ; ˆ
β(z) = 1}
→ Z( ˆ
M
)
Γ R /(Z( ˆ
M )
Γ R ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )
est un isomorphisme. D’autre part, ˆ
β se quotiente en un caractère du tore ˆ
T . Il
en résulte que
[Z( ˆ
G
(˜ s))
Γ R : Z( ˆ
G)
Γ R ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ] = [Z( ˆ
M
)
Γ R : Z( ˆ
M )
Γ R ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ]|{z ∈ ˆ
T ; ˆ
β(z) = 1}|.
En se rappelant la définition de i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)), cf. [II] 1.7, on obtient
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = |{z ∈ ˆ
T ; ˆ
β(z) = 1}|
−1 .
On a un homomorphisme surjectif
ˆ
T → Z( ˆ
M
)
Γ R /Z( ˆ
G
(˜ s))
Γ R .
Puisque la restriction de ˆ
α au tore de droite est égale à k
ˆ
G
(˜ s) (ˆ α) fois celle de ˆ
β,
on a la même relation entre les restrictions de ces racines à ˆ
T . Puisque ce tore est
de dimension 1, on obtient
k
ˆ
G
(˜ s) (ˆ α)
−1 i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = |{z ∈ ˆ
T ; ˆ
α(z) = 1}|
−1 ,
ou encore, par le même argument
k
ˆ
G
(˜ s) (ˆ α)
−1 i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = n α |{z ∈ ˆ
T ; N ˆ
α(z) = 1}|
−1 .