VIII.4. Les preuves et l’application ˜
M
977
On peut utiliser le théorème [II] 1.16(i) par récurrence puisque ˜
L = ˜
G : on a
I
˜
L,E
˜
M
= I
˜
L
˜
M
. Si ˜
L = ˜
M , on peut aussi utiliser la proposition 3.8 :
c θ
˜
G,E
˜
L
(f ) =
c θ
˜
G
˜
L
(f ).
L’égalité se simplifie en
(5)
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f ) =
c I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) −
c I
˜
G
˜
M (γ, f ) + I
˜
M (γ, ϕ),
où
ϕ =
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ) −
c θ
˜
G
˜
M (f ).
Cette fonction ϕ est bien un élément de I ac ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )). La propriété
de compacité 1.9(2), qui se propage au premier terme du membre de droite de
(5), assure l’existence d’un sous-ensemble compact Ω de ˜
M (F ) tel que les deux
premiers termes de ce membre de droite soient nuls si le support de γ ne coupe
pas Ω
M . Cela prouve (4).
On peut évidemment supposer Ω
M ouvert, fermé et invariant par conjugaison stable. Par partition de l’unité, l’assertion (2) permet de construire une
fonction ϕ ∈ I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) telle que (1) soit vérifiée pour tout γ ∈
D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ à support contenu dans Ω
M .
L’assertion (4) construit une telle fonction telle que (1) soit vérifiée pour
tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ à support disjoint de Ω
M . En recollant
ces deux fonctions, on obtient une fonction ϕ telle que (1) soit vérifiée pour tout
γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Montrons que l’on peut supprimer la
restriction sur le support de γ. Pour cela, il suffit de fixer une classe de conjugaison
stable semi-simple O dans ˜
M (F ) et de prouver que la relation (1) est encore vérifiée
pour γ ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Pour de tels O et γ, on peut choisir γ
à
support fortement régulier dans ˜
G et proche de O de sorte que g
˜
M
˜
M,O
(γ
) = γ, cf.
[II] 2.1(1). La relation (3) appliquée à ce γ
nous dit que
I
˜
G,E
˜
M
(γ
, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ
, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f ).
De même, on a
I
˜
M (γ
, ϕ) = I
˜
M (γ, ϕ).
Puisque les membres de gauche des deux égalités précédentes sont égaux, ceux de
droite le sont aussi.
On a ainsi construit une fonction ϕ ∈ I ac ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )) pour laquelle
(1) est vérifée pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Soit ˜
R un espace de
Levi propre de ˜
M et τ ∈ D g´ eom ( ˜
R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F ))
∗ . Les relations de descente
du lemme [II] 1.7 et de [II] 1.15(1), jointes à nos hypothèses de récurrence, assurent
que le membre de gauche de (1) est nul pour γ = τ
˜
M . Donc I
˜
M (τ
˜
M , ϕ) = 0. Cela
assure que ϕ est cuspidale.
Il résulte de la preuve que, pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω)
00
⊗ Mes(G(F )), la
fonction ˜
M (f ) est la somme de
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ) −
c θ
˜
G
˜
M
(f ) et d’une fonction à support
M
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On peut utiliser le théorème [II] 1.16(i) par récurrence puisque ˜
L = ˜
G : on a
I
˜
L,E
˜
M
= I
˜
L
˜
M
. Si ˜
L = ˜
M , on peut aussi utiliser la proposition 3.8 :
c θ
˜
G,E
˜
L
(f ) =
c θ
˜
G
˜
L
(f ).
L’égalité se simplifie en
(5)
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f ) =
c I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) −
c I
˜
G
˜
M (γ, f ) + I
˜
M (γ, ϕ),
où
ϕ =
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ) −
c θ
˜
G
˜
M (f ).
Cette fonction ϕ est bien un élément de I ac ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )). La propriété
de compacité 1.9(2), qui se propage au premier terme du membre de droite de
(5), assure l’existence d’un sous-ensemble compact Ω de ˜
M (F ) tel que les deux
premiers termes de ce membre de droite soient nuls si le support de γ ne coupe
pas Ω
M . Cela prouve (4).
On peut évidemment supposer Ω
M ouvert, fermé et invariant par conjugaison stable. Par partition de l’unité, l’assertion (2) permet de construire une
fonction ϕ ∈ I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) telle que (1) soit vérifiée pour tout γ ∈
D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ à support contenu dans Ω
M .
L’assertion (4) construit une telle fonction telle que (1) soit vérifiée pour
tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ à support disjoint de Ω
M . En recollant
ces deux fonctions, on obtient une fonction ϕ telle que (1) soit vérifiée pour tout
γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Montrons que l’on peut supprimer la
restriction sur le support de γ. Pour cela, il suffit de fixer une classe de conjugaison
stable semi-simple O dans ˜
M (F ) et de prouver que la relation (1) est encore vérifiée
pour γ ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Pour de tels O et γ, on peut choisir γ
à
support fortement régulier dans ˜
G et proche de O de sorte que g
˜
M
˜
M,O
(γ
) = γ, cf.
[II] 2.1(1). La relation (3) appliquée à ce γ
nous dit que
I
˜
G,E
˜
M
(γ
, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ
, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f ).
De même, on a
I
˜
M (γ
, ϕ) = I
˜
M (γ, ϕ).
Puisque les membres de gauche des deux égalités précédentes sont égaux, ceux de
droite le sont aussi.
On a ainsi construit une fonction ϕ ∈ I ac ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )) pour laquelle
(1) est vérifée pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Soit ˜
R un espace de
Levi propre de ˜
M et τ ∈ D g´ eom ( ˜
R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F ))
∗ . Les relations de descente
du lemme [II] 1.7 et de [II] 1.15(1), jointes à nos hypothèses de récurrence, assurent
que le membre de gauche de (1) est nul pour γ = τ
˜
M . Donc I
˜
M (τ
˜
M , ϕ) = 0. Cela
assure que ϕ est cuspidale.
Il résulte de la preuve que, pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω)
00
⊗ Mes(G(F )), la
fonction ˜
M (f ) est la somme de
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ) −
c θ
˜
G
˜
M
(f ) et d’une fonction à support