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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
se simplifie en
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f )
= I
˜
G (g
˜
G,E
˜
M,O
(γ) − g
˜
G
˜
M,O
(γ), f ) + I
˜
G,E
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f ) − I
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f ).
Les termes g
˜
G,E
˜
M,O
(γ) et g
˜
G
˜
M,O
(γ) sont en tout cas des éléments de D g´ eom (O
˜
G , ω) ⊗
Mes(G(F ))
∗ où O
˜
G est la classe de conjugaison stable dans ˜
G(F ) contenant O. Si
(G, ˜
G, a) est l’un des triplets construits en [III] 6.2 et si O
˜
G coupe Θ F , l’hypothèse
que f ∈ I( ˜
G(F ), ω)
00
⊗ Mes(G(F )) entraîne que le premier terme du membre de
droite ci-dessus est nul. Si au contraire (G, ˜
G, a) n’est pas l’un de ces triplets ou
si c’est l’un d’eux mais O
˜
G ne coupe pas Θ F , la proposition [III] 8.5 affirme que
g
˜
G,E
˜
M,O
(γ) = g
˜
G
˜
M,O
(γ). Le premier terme ci-dessus est donc encore nul. L’égalité se
simplifie en
(3)
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f ) − I
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f ).
Choisissons une fonction ϕ ∈ I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) telle que
I
˜
M (τ , ϕ) = I
˜
G,E
˜
M
(τ , f ) − I
˜
G
˜
M
(τ , f )
pour tout τ ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . C’est possible puisque D g´ eom (O, ω) ⊗
Mes(M (F ))
∗ est un sous-espace de dimension finie du dual de I( ˜
M (F ), ω) ⊗
Mes(M (F )). Cela entraîne en particulier que
I
˜
M (g
˜
M
˜
M,O
(γ), ϕ) = I
˜
G,E
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f ) − I
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f ).
Par le développement en germes de Shalika ordinaires, le membre de gauche cidessus est égal à I
˜
M (γ, ϕ) pourvu que γ soit assez proche de O. Alors l’égalité
(3) devient (1). Cela démontre l’assertion (2).
Prouvons que
(4) il existe un sous-ensemble compact Ω ⊂ ˜
M (F ) et une fonction
ϕ ∈ I ac ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
de sorte que l’on ait l’égalité (1) pour tout
γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
dont le support ne coupe pas Ω
M .
On utilise la relation 1.9(3) et la proposition 4.1(i). On obtient l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f )
=
c I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) −
c I
˜
G
˜
M (γ, f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
I
˜
L,E
˜
M
(γ,
c θ
˜
G,E
˜
L
(f )) − I
˜
L
˜
M
(γ,
c θ
˜
G
˜
L (f )).
Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
se simplifie en
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f )
= I
˜
G (g
˜
G,E
˜
M,O
(γ) − g
˜
G
˜
M,O
(γ), f ) + I
˜
G,E
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f ) − I
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f ).
Les termes g
˜
G,E
˜
M,O
(γ) et g
˜
G
˜
M,O
(γ) sont en tout cas des éléments de D g´ eom (O
˜
G , ω) ⊗
Mes(G(F ))
∗ où O
˜
G est la classe de conjugaison stable dans ˜
G(F ) contenant O. Si
(G, ˜
G, a) est l’un des triplets construits en [III] 6.2 et si O
˜
G coupe Θ F , l’hypothèse
que f ∈ I( ˜
G(F ), ω)
00
⊗ Mes(G(F )) entraîne que le premier terme du membre de
droite ci-dessus est nul. Si au contraire (G, ˜
G, a) n’est pas l’un de ces triplets ou
si c’est l’un d’eux mais O
˜
G ne coupe pas Θ F , la proposition [III] 8.5 affirme que
g
˜
G,E
˜
M,O
(γ) = g
˜
G
˜
M,O
(γ). Le premier terme ci-dessus est donc encore nul. L’égalité se
simplifie en
(3)
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f ) − I
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f ).
Choisissons une fonction ϕ ∈ I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) telle que
I
˜
M (τ , ϕ) = I
˜
G,E
˜
M
(τ , f ) − I
˜
G
˜
M
(τ , f )
pour tout τ ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . C’est possible puisque D g´ eom (O, ω) ⊗
Mes(M (F ))
∗ est un sous-espace de dimension finie du dual de I( ˜
M (F ), ω) ⊗
Mes(M (F )). Cela entraîne en particulier que
I
˜
M (g
˜
M
˜
M,O
(γ), ϕ) = I
˜
G,E
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f ) − I
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f ).
Par le développement en germes de Shalika ordinaires, le membre de gauche cidessus est égal à I
˜
M (γ, ϕ) pourvu que γ soit assez proche de O. Alors l’égalité
(3) devient (1). Cela démontre l’assertion (2).
Prouvons que
(4) il existe un sous-ensemble compact Ω ⊂ ˜
M (F ) et une fonction
ϕ ∈ I ac ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
de sorte que l’on ait l’égalité (1) pour tout
γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
dont le support ne coupe pas Ω
M .
On utilise la relation 1.9(3) et la proposition 4.1(i). On obtient l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f )
=
c I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) −
c I
˜
G
˜
M (γ, f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
I
˜
L,E
˜
M
(γ,
c θ
˜
G,E
˜
L
(f )) − I
˜
L
˜
M
(γ,
c θ
˜
G
˜
L (f )).