VIII.4. Les preuves et l’application ˜
M
975
éléments semi-simples η ∈ ˜
G(F ) tels que ad η conserve une paire de Borel épinglée
définie sur F . On a vu en [III] 6.2 que ces éléments sont contenus dans un nombre
fini de classes de conjugaison stable. On définit l’espace I( ˜
G(F ), ω)
00 comme le
sous-espace des éléments f ∈ I( ˜
G(F ), ω) dont les intégrales orbitales sont nulles
en tout point γ ∈ ˜
G(F ) dont la partie semi-simple appartient à une classe de
conjugaison stable coupant Θ F .
Si (G, ˜
G, a) n’est pas l’un des triplets particuliers définis en [III] 6.2, on pose
simplement I( ˜
G(F ), ω)
00 = I( ˜
G(F ), ω).
On note naturellement I ac,cusp ( ˜
M (F ), ω) le sous-espace des éléments cuspidaux de I ac ( ˜
M (F ), ω).
Proposition. Il existe une unique application linéaire
˜
M : I( ˜
G(F ), ω)
00
⊗ Mes(G(F )) → I ac,cusp ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
telle que
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
M (γ, , ˜
M (f ))
pour tout
γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
et tout
f ∈ I( ˜
G(F ), ω)
00
⊗ Mes(G(F )).
Preuve. Il est clair que l’application ˜
M est unique si elle existe. Fixons f ∈
I( ˜
G(F ), ω)
00
⊗ Mes(G(F )). Considérons l’égalité
(1)
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
M (γ, ϕ).
Commençons par prouver
(2) pour toute classe de conjugaison stable semi-simple O dans ˜
M (F ), il existe
ϕ ∈ I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) de sorte que (1) soit vérifiée pour tout γ ∈
D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ assez proche de O.
On rappelle qu’on dit que γ est assez proche de O si les parties semi-simples
des éléments du support de γ sont assez proches de O. On utilise les développements en germes des deux termes du membre de gauche fournis par les propositions
[II] 2.3 et [II] 2.6. On a ainsi
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
G,E
˜
L
(g
˜
L,E
˜
M,O
(γ), f ) − I
˜
G
˜
L
(g
˜
L
˜
M,O
(γ), f ).
Si ˜
L = ˜
M , on applique par récurrence le théorème [II] 1.16(i) : I
˜
G,E
˜
L
= I
˜
G
˜
L
. Si
˜
L = ˜
G, on utilise par récurrence la proposition [II] 2.7 : g
˜
L,E
˜
M,O
= g
˜
L
˜
M,O
. La formule
M
975
éléments semi-simples η ∈ ˜
G(F ) tels que ad η conserve une paire de Borel épinglée
définie sur F . On a vu en [III] 6.2 que ces éléments sont contenus dans un nombre
fini de classes de conjugaison stable. On définit l’espace I( ˜
G(F ), ω)
00 comme le
sous-espace des éléments f ∈ I( ˜
G(F ), ω) dont les intégrales orbitales sont nulles
en tout point γ ∈ ˜
G(F ) dont la partie semi-simple appartient à une classe de
conjugaison stable coupant Θ F .
Si (G, ˜
G, a) n’est pas l’un des triplets particuliers définis en [III] 6.2, on pose
simplement I( ˜
G(F ), ω)
00 = I( ˜
G(F ), ω).
On note naturellement I ac,cusp ( ˜
M (F ), ω) le sous-espace des éléments cuspidaux de I ac ( ˜
M (F ), ω).
Proposition. Il existe une unique application linéaire
˜
M : I( ˜
G(F ), ω)
00
⊗ Mes(G(F )) → I ac,cusp ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
telle que
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
M (γ, , ˜
M (f ))
pour tout
γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
et tout
f ∈ I( ˜
G(F ), ω)
00
⊗ Mes(G(F )).
Preuve. Il est clair que l’application ˜
M est unique si elle existe. Fixons f ∈
I( ˜
G(F ), ω)
00
⊗ Mes(G(F )). Considérons l’égalité
(1)
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
M (γ, ϕ).
Commençons par prouver
(2) pour toute classe de conjugaison stable semi-simple O dans ˜
M (F ), il existe
ϕ ∈ I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) de sorte que (1) soit vérifiée pour tout γ ∈
D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ assez proche de O.
On rappelle qu’on dit que γ est assez proche de O si les parties semi-simples
des éléments du support de γ sont assez proches de O. On utilise les développements en germes des deux termes du membre de gauche fournis par les propositions
[II] 2.3 et [II] 2.6. On a ainsi
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
G,E
˜
L
(g
˜
L,E
˜
M,O
(γ), f ) − I
˜
G
˜
L
(g
˜
L
˜
M,O
(γ), f ).
Si ˜
L = ˜
M , on applique par récurrence le théorème [II] 1.16(i) : I
˜
G,E
˜
L
= I
˜
G
˜
L
. Si
˜
L = ˜
G, on utilise par récurrence la proposition [II] 2.7 : g
˜
L,E
˜
M,O
= g
˜
L
˜
M,O
. La formule