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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
où
ϕ =
c θ
˜
G
˜
M (f ) −
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ).
La propriété de compacité 1.9(3) se propage comme on l’a dit au membre de
gauche de (2). Il en résulte que ϕ, qui est a priori un élément de I ac ( ˜
M (F ), ω) ⊗
Mes(M (F )), est «à support compact», c’est-à-dire est un élément de I( ˜
M (F ), ω)⊗
Mes(M (F )). Pour une ω-représentation elliptique ˜
π de ˜
M (F ), la fonction ˜
λ →
I
˜
M (˜ π, ˜
λ, ϕ) n’a donc pas de pôle. Ses coefficients de Fourier I
˜
M (˜ π, ν, X, ϕ) ne
dépendent donc pas du point ν ∈ A
∗
˜
M
. Par construction, on a
I
˜
M (˜ π, ν, X, ϕ) = I
˜
M (˜ π, ν, X,
c θ
˜
G
˜
M (f )) − I
˜
M (˜ π, ν, X,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )).
On utilise les propositions 1.8 et 3.7 qui nous disent que
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)I
˜
M (˜ π, ν ˜
S , X, ϕ) = 0
pour tout X. Comme dans le paragraphe précédent, on peut remplacer les points
ν ˜
S par 0 et conclure que I
˜
M (˜ π, 0, X, ϕ) = 0 pour tout X. Par inversion de Fourier,
on obtient I
˜
M (˜ π, ϕ) = 0. Par ailleurs, les lemmes 1.6 et 3.5 et nos hypothèses de
récurrence impliquent que ϕ ˜
R = 0 pour tout espace de Levi propre ˜
R de ˜
M , c’està-dire que ϕ est cuspidale. Etant annulée par la distribution I
˜
M (˜ π, .) pour toute
ω-représentation elliptique ˜
π de ˜
M (F ), cette fonction est nulle. Donc
c θ
˜
G
˜
M (f ) =
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ),
ce qui prouve la proposition 3.8.
La fonction ϕ étant nulle, l’égalité (2) entraîne
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) =
c I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ),
ce qui prouve la proposition 3.9.
Dans le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, l’hypothèse
(1) est le théorème [II] 1.16(ii), que l’on a déjà prouvé. Donc les propositions
3.8 et 3.9 sont prouvées inconditionnellement dans ce cas. Comme on l’a dit, la
restriction que δ est à support fortement régulier dans ˜
G ne sert qu’à éviter dans
le cas général l’introduction du délicat système de fonctions B
˜
G . Dans le cas quasidéployé et à torsion intérieure, ce système de fonctions est trivial, la preuve vaut
aussi bien pour δ quelconque.
VIII.4.4 L’application ˜
M
On a défini en [III] 6.2 des triplets particuliers (G, ˜
G, a). Considérons un tel triplet.
Le groupe G est simplement connexe et quasi-déployé. On note Θ F l’ensemble des
Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
où
ϕ =
c θ
˜
G
˜
M (f ) −
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ).
La propriété de compacité 1.9(3) se propage comme on l’a dit au membre de
gauche de (2). Il en résulte que ϕ, qui est a priori un élément de I ac ( ˜
M (F ), ω) ⊗
Mes(M (F )), est «à support compact», c’est-à-dire est un élément de I( ˜
M (F ), ω)⊗
Mes(M (F )). Pour une ω-représentation elliptique ˜
π de ˜
M (F ), la fonction ˜
λ →
I
˜
M (˜ π, ˜
λ, ϕ) n’a donc pas de pôle. Ses coefficients de Fourier I
˜
M (˜ π, ν, X, ϕ) ne
dépendent donc pas du point ν ∈ A
∗
˜
M
. Par construction, on a
I
˜
M (˜ π, ν, X, ϕ) = I
˜
M (˜ π, ν, X,
c θ
˜
G
˜
M (f )) − I
˜
M (˜ π, ν, X,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )).
On utilise les propositions 1.8 et 3.7 qui nous disent que
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)I
˜
M (˜ π, ν ˜
S , X, ϕ) = 0
pour tout X. Comme dans le paragraphe précédent, on peut remplacer les points
ν ˜
S par 0 et conclure que I
˜
M (˜ π, 0, X, ϕ) = 0 pour tout X. Par inversion de Fourier,
on obtient I
˜
M (˜ π, ϕ) = 0. Par ailleurs, les lemmes 1.6 et 3.5 et nos hypothèses de
récurrence impliquent que ϕ ˜
R = 0 pour tout espace de Levi propre ˜
R de ˜
M , c’està-dire que ϕ est cuspidale. Etant annulée par la distribution I
˜
M (˜ π, .) pour toute
ω-représentation elliptique ˜
π de ˜
M (F ), cette fonction est nulle. Donc
c θ
˜
G
˜
M (f ) =
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ),
ce qui prouve la proposition 3.8.
La fonction ϕ étant nulle, l’égalité (2) entraîne
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) =
c I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ),
ce qui prouve la proposition 3.9.
Dans le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, l’hypothèse
(1) est le théorème [II] 1.16(ii), que l’on a déjà prouvé. Donc les propositions
3.8 et 3.9 sont prouvées inconditionnellement dans ce cas. Comme on l’a dit, la
restriction que δ est à support fortement régulier dans ˜
G ne sert qu’à éviter dans
le cas général l’introduction du délicat système de fonctions B
˜
G . Dans le cas quasidéployé et à torsion intérieure, ce système de fonctions est trivial, la preuve vaut
aussi bien pour δ quelconque.
VIII.4.4 L’application ˜
M
On a défini en [III] 6.2 des triplets particuliers (G, ˜
G, a). Considérons un tel triplet.
Le groupe G est simplement connexe et quasi-déployé. On note Θ F l’ensemble des