VIII.4. Les preuves et l’application ˜
M
973
que
c Sθ
˜
G
˜
L
(f ) = 0. Pour δ comme ci-dessus, la formule de la proposition 4.1(ii) se
simplifie en
(1)
c S
˜
G
˜
M
(δ, f ) = S
˜
M (δ,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )).
On utilise la propriété de compacité 1.9(2) dont on a dit qu’elle se propageait
à la distribution de gauche ci-dessus : le terme est nul quand le support de δ ne
coupe pas Ω
G pour un certain sous-ensemble compact Ω de ˜
G(F ). Il en résulte que
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ), qui est a priori un élément de SI ac ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )), est «à support
compact», c’est-à-dire appartient à SI( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )). Il en résulte que,
pour ˜
π ∈ D
st
ell ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ , la fonction ˜
λ → S
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) n’a pas
de pôle. Ses coefficients de Fourier S
˜
M (˜ π, ν, X,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) sont donc indépendants
du point ν ∈ A
∗
˜
M
. Dans la formule de la proposition 2.4, on peut remplacer
chaque ν ˜
S par 0. Puisque
˜
S∈P( ˜
M) ω ˜
S (X) = 1 pour tout X, on obtient que
S
˜
M (˜ π, 0, X,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) = 0 pour tout X.
Par inversion de Fourier, S
˜
M (˜ π,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) = 0. Un élément cuspidal de
SI( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )) annulé par les distributions S
˜
M (˜ π, .) pour tout ˜
π ∈
D
st
ell ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ est nul ([XI] corollaire 4.2(i)). Donc
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ) = 0, ce
qui prouve la proposition 2.2. Le membre de droite de (1) est maintenant nul, donc
aussi celui de gauche. Cela prouve la proposition 2.5.
VIII.4.3 Preuve conditionnelle des propositions 3.8 et 3.9
Ici (G, ˜
G, a) est quelconque mais on pose l’hypothèse suivante :
(1) pour tout γ ∈ D g´ eom, ˜
G -reg ( ˜
M (F ), ω)⊗ Mes(M (F ))
∗ et tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω)⊗
Mes(G(F )), on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f ).
Ainsi qu’on l’a déjà dit plusieurs fois, cette hypothèse sera vérfiée au chapitre
X ([X] 3.5 et [X] 7.7).
Soient γ et f comme ci-dessus. Considérons le membre de droite de la formule
du (i) de la proposition 4.1. Pour ˜
L ∈ L( ˜
M ), la distribution I
˜
L,E
˜
M
(γ, .) est égale
à I
˜
L
˜
M
(γ, .) soit par hypothèse de récurrence si ˜
L = ˜
G, soit par l’hypothèse (1) si
˜
L = ˜
G. Si ˜
L = ˜
M , on a aussi
c θ
˜
G,E
˜
L
(f ) =
c θ
˜
G
˜
L
(f ) par nos hypothèses de récurrence.
La formule devient
c I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
M (γ,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )) +
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M
I
˜
L
˜
M
(γ,
c θ
˜
G
˜
L (f )).
En comparant avec 1.9(3), on obtient
(2)
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) −
c I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
M (γ, ϕ),
M
973
que
c Sθ
˜
G
˜
L
(f ) = 0. Pour δ comme ci-dessus, la formule de la proposition 4.1(ii) se
simplifie en
(1)
c S
˜
G
˜
M
(δ, f ) = S
˜
M (δ,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )).
On utilise la propriété de compacité 1.9(2) dont on a dit qu’elle se propageait
à la distribution de gauche ci-dessus : le terme est nul quand le support de δ ne
coupe pas Ω
G pour un certain sous-ensemble compact Ω de ˜
G(F ). Il en résulte que
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ), qui est a priori un élément de SI ac ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )), est «à support
compact», c’est-à-dire appartient à SI( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )). Il en résulte que,
pour ˜
π ∈ D
st
ell ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ , la fonction ˜
λ → S
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) n’a pas
de pôle. Ses coefficients de Fourier S
˜
M (˜ π, ν, X,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) sont donc indépendants
du point ν ∈ A
∗
˜
M
. Dans la formule de la proposition 2.4, on peut remplacer
chaque ν ˜
S par 0. Puisque
˜
S∈P( ˜
M) ω ˜
S (X) = 1 pour tout X, on obtient que
S
˜
M (˜ π, 0, X,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) = 0 pour tout X.
Par inversion de Fourier, S
˜
M (˜ π,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) = 0. Un élément cuspidal de
SI( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )) annulé par les distributions S
˜
M (˜ π, .) pour tout ˜
π ∈
D
st
ell ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ est nul ([XI] corollaire 4.2(i)). Donc
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ) = 0, ce
qui prouve la proposition 2.2. Le membre de droite de (1) est maintenant nul, donc
aussi celui de gauche. Cela prouve la proposition 2.5.
VIII.4.3 Preuve conditionnelle des propositions 3.8 et 3.9
Ici (G, ˜
G, a) est quelconque mais on pose l’hypothèse suivante :
(1) pour tout γ ∈ D g´ eom, ˜
G -reg ( ˜
M (F ), ω)⊗ Mes(M (F ))
∗ et tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω)⊗
Mes(G(F )), on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f ).
Ainsi qu’on l’a déjà dit plusieurs fois, cette hypothèse sera vérfiée au chapitre
X ([X] 3.5 et [X] 7.7).
Soient γ et f comme ci-dessus. Considérons le membre de droite de la formule
du (i) de la proposition 4.1. Pour ˜
L ∈ L( ˜
M ), la distribution I
˜
L,E
˜
M
(γ, .) est égale
à I
˜
L
˜
M
(γ, .) soit par hypothèse de récurrence si ˜
L = ˜
G, soit par l’hypothèse (1) si
˜
L = ˜
G. Si ˜
L = ˜
M , on a aussi
c θ
˜
G,E
˜
L
(f ) =
c θ
˜
G
˜
L
(f ) par nos hypothèses de récurrence.
La formule devient
c I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
M (γ,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )) +
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M
I
˜
L
˜
M
(γ,
c θ
˜
G
˜
L (f )).
En comparant avec 1.9(3), on obtient
(2)
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) −
c I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
M (γ, ϕ),