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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
Pour tous ˜
L et ˜
s, on reconnaît
˜
t∈˜ sZ( ˆ
L) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
L (˜ s) ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t))
c Sθ
G
( ˜
t)
L (˜ s) (f
G
( ˜
t) )
=
c θ
˜
G,E
˜
L
(L
(˜ s), f ) = (
c θ
˜
G,E
˜
L
(f ))
L
(˜ s) .
L’expression plus haut devient
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f )
=
˜
L∈L( ˜
M)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
L) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(˜ s))S
L
(˜ s)
M (δ, (
c θ
˜
G,E
˜
L
(f ))
L
(˜ s) ).
Par définition, pour tout ˜
L, la somme en ˜
s n’est autre que
I
˜
L,E
˜
M
(M
, δ,
c θ
˜
G,E
˜
L
(f )).
Alors l’expression ci-dessus devient simplement la formule (1) qu’il fallait démontrer. Cela prouve le (i) de l’énoncé.
Preuve du (ii). Maintenant (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. On
identifie δ à un élément de D
st
g´ eom (M) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . On a prouvé l’identité (1)
(pour M
= M) par une méthode spécifique. Mais on peut aussi reprendre le
calcul du cas général. Comme toujours, il y a un terme auquel on ne peut plus
appliquer par récurrence l’égalité du (ii) de l’énoncé. C’est celui indexé par s = 1.
On le remplace par le membre de droite du (ii) de l’énoncé plus la différence X
entre le membre de gauche et ce membre de droite. Le calcul se poursuit, la seule
différence est l’addition de ce terme X. On obtient
c I
˜
G,E
˜
M
(M, δ, f ) = X +
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
L,E
˜
M
(M, δ,
c θ
˜
G,E
˜
L
(f )).
Puisqu’on a déjà démontré l’égalité analogue sans le terme X, cela implique X = 0,
ce que l’on devait prouver.
VIII.4.2 Preuves des propositions 2.2 et 2.5
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗
Mes(G(F )) dont l’image dans SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) est nulle. On veut prouver que
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ) = 0 et que, pour tout δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ , on
a
c S
˜
G
˜
M
(δ, f ) = 0. Le lemme 2.3 et nos hypothèses de récurrence assurent que
(
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) ˜
R = 0 pour tout espace de Levi propre ˜
R de ˜
M , autrement dit
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )
est cuspidale. Pour ˜
L ∈ L( ˜
M ), avec ˜
L = ˜
M , nos hypothèses de récurrence assurent
Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
Pour tous ˜
L et ˜
s, on reconnaît
˜
t∈˜ sZ( ˆ
L) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
L (˜ s) ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t))
c Sθ
G
( ˜
t)
L (˜ s) (f
G
( ˜
t) )
=
c θ
˜
G,E
˜
L
(L
(˜ s), f ) = (
c θ
˜
G,E
˜
L
(f ))
L
(˜ s) .
L’expression plus haut devient
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f )
=
˜
L∈L( ˜
M)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
L) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(˜ s))S
L
(˜ s)
M (δ, (
c θ
˜
G,E
˜
L
(f ))
L
(˜ s) ).
Par définition, pour tout ˜
L, la somme en ˜
s n’est autre que
I
˜
L,E
˜
M
(M
, δ,
c θ
˜
G,E
˜
L
(f )).
Alors l’expression ci-dessus devient simplement la formule (1) qu’il fallait démontrer. Cela prouve le (i) de l’énoncé.
Preuve du (ii). Maintenant (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. On
identifie δ à un élément de D
st
g´ eom (M) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . On a prouvé l’identité (1)
(pour M
= M) par une méthode spécifique. Mais on peut aussi reprendre le
calcul du cas général. Comme toujours, il y a un terme auquel on ne peut plus
appliquer par récurrence l’égalité du (ii) de l’énoncé. C’est celui indexé par s = 1.
On le remplace par le membre de droite du (ii) de l’énoncé plus la différence X
entre le membre de gauche et ce membre de droite. Le calcul se poursuit, la seule
différence est l’addition de ce terme X. On obtient
c I
˜
G,E
˜
M
(M, δ, f ) = X +
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
L,E
˜
M
(M, δ,
c θ
˜
G,E
˜
L
(f )).
Puisqu’on a déjà démontré l’égalité analogue sans le terme X, cela implique X = 0,
ce que l’on devait prouver.
VIII.4.2 Preuves des propositions 2.2 et 2.5
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗
Mes(G(F )) dont l’image dans SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) est nulle. On veut prouver que
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ) = 0 et que, pour tout δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ , on
a
c S
˜
G
˜
M
(δ, f ) = 0. Le lemme 2.3 et nos hypothèses de récurrence assurent que
(
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) ˜
R = 0 pour tout espace de Levi propre ˜
R de ˜
M , autrement dit
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )
est cuspidale. Pour ˜
L ∈ L( ˜
M ), avec ˜
L = ˜
M , nos hypothèses de récurrence assurent