VIII.4. Les preuves et l’application ˜
M
971
Si ˜
L = ˜
M , nos habituelles hypothèses de récurrence nous autorisent à utiliser la
proposition 3.8 :
c θ
˜
G,E
˜
L
(f ) =
c θ
˜
G
˜
L
(f ). Considérons le cas ˜
L = ˜
M . Puisque δ est
stable, la distribution I
˜
M (δ, .) est stable et on peut remplacer le terme
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )
par sa projection dans SI( ˜
M (F ))⊗Mes(M (F )). L’égalité 3.1(2) n’est qu’une façon
de dire que les projections dans SI( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )) de
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ) et de
c θ
˜
G
˜
M
(f )
sont égales. On a ainsi obtenu le même résultat que dans le cas ˜
L = ˜
M , à savoir
que l’on peut supprimer les exposants E figurant dans la formule (2). Alors cette
formule devient simplement 1.9(3).
Excluons maintenant le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et où M
= M. On utilise la définition
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
c S
G
(˜ s)
M (δ, f
G
(˜ s) ).
On a dim(G
(˜ s) SC ) < dim(G SC ) pour tous les ˜
s intervenant et on peut utiliser par
récurrence le (ii) de la présente proposition. En utilisant les mêmes notations que
dans la preuve de la proposition [II] 2.6 (dont la présente preuve est une variante),
on obtient
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
˜
L
˜
s ∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
M )
S
L
˜
s
M (δ,
c Sθ
G
(˜ s)
L
˜
s
(f
G
(˜ s) )).
On regroupe les paires (˜ s, ˜
L
˜
s ) selon l’espace de Levi ˜
L de ˜
G déterminé par l’égalité
A ˜
L = A ˜
L
˜
s
. On obtient
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
Γ F , ˆ
θ ,
L
(˜ s) elliptique
˜
t∈˜ sZ( ˆ
L) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t))S
L
(˜ s)
M (δ,
c Sθ
G
( ˜
t)
L (˜ s) (f
G
( ˜
t) )).
On a l’égalité
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t)) = i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(˜ s))i ˜
L (˜ s) ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t))
et l’expression ci-dessus devient
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M )
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M)
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(˜ s))
˜
t∈˜ sZ( ˆ
L) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
L (˜ s) ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t))S
L
(˜ s)
M (δ,
c Sθ
G
( ˜
t)
L (˜ s) (f
G
( ˜
t) )).
M
971
Si ˜
L = ˜
M , nos habituelles hypothèses de récurrence nous autorisent à utiliser la
proposition 3.8 :
c θ
˜
G,E
˜
L
(f ) =
c θ
˜
G
˜
L
(f ). Considérons le cas ˜
L = ˜
M . Puisque δ est
stable, la distribution I
˜
M (δ, .) est stable et on peut remplacer le terme
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )
par sa projection dans SI( ˜
M (F ))⊗Mes(M (F )). L’égalité 3.1(2) n’est qu’une façon
de dire que les projections dans SI( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )) de
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ) et de
c θ
˜
G
˜
M
(f )
sont égales. On a ainsi obtenu le même résultat que dans le cas ˜
L = ˜
M , à savoir
que l’on peut supprimer les exposants E figurant dans la formule (2). Alors cette
formule devient simplement 1.9(3).
Excluons maintenant le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et où M
= M. On utilise la définition
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
c S
G
(˜ s)
M (δ, f
G
(˜ s) ).
On a dim(G
(˜ s) SC ) < dim(G SC ) pour tous les ˜
s intervenant et on peut utiliser par
récurrence le (ii) de la présente proposition. En utilisant les mêmes notations que
dans la preuve de la proposition [II] 2.6 (dont la présente preuve est une variante),
on obtient
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
˜
L
˜
s ∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
M )
S
L
˜
s
M (δ,
c Sθ
G
(˜ s)
L
˜
s
(f
G
(˜ s) )).
On regroupe les paires (˜ s, ˜
L
˜
s ) selon l’espace de Levi ˜
L de ˜
G déterminé par l’égalité
A ˜
L = A ˜
L
˜
s
. On obtient
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
Γ F , ˆ
θ ,
L
(˜ s) elliptique
˜
t∈˜ sZ( ˆ
L) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t))S
L
(˜ s)
M (δ,
c Sθ
G
( ˜
t)
L (˜ s) (f
G
( ˜
t) )).
On a l’égalité
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t)) = i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(˜ s))i ˜
L (˜ s) ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t))
et l’expression ci-dessus devient
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M )
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M)
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(˜ s))
˜
t∈˜ sZ( ˆ
L) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
L (˜ s) ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t))S
L
(˜ s)
M (δ,
c Sθ
G
( ˜
t)
L (˜ s) (f
G
( ˜
t) )).