970
Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
VIII.4 Les preuves et l’application ˜
M
VIII.4.1 Lien entre les intégrales orbitales pondérées stables
ou endoscopiques et leurs variantes
Proposition.
(i) Soient
γ ∈ D g´ eom, ˜
G -reg ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )).
On a l’égalité
c I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
L,E
˜
M
(γ,
c θ
˜
G,E
˜
L
(f )).
(ii) Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soient
δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )).
On a l’égalité
c S
˜
G
˜
M
(δ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
S
˜
L
˜
M
(δ,
c Sθ
˜
G
˜
L (f )).
Remarque. L’expression (ii) a un sens puisqu’on sait que les distributions S
˜
L
˜
M
(δ, .)
sont stables, cf. [II] théorème 1.10.
Preuve de (i). Par linéarité, on peut fixer une donnée endoscopique
M
= (M
, M
, ˜
ζ) de (M, ˜
M, a),
elliptique et relevante, et un élément δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -reg
(M
) ⊗ Mes(M
(F )) et supposer que γ = transfert(δ). D’après les définitions, l’égalité à prouver devient
(1)
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
L,E
˜
M
(M
, δ,
c θ
˜
G,E
˜
L
(f )).
Considérons d’abord le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et où M
= M. Comme on l’a dit, on a tautologiquement l’égalité
c I
˜
G,E
˜
M
(M, δ, f ) =
c I
˜
G
˜
M (δ, f ).
De façon également tautologique, les distributions I
˜
L,E
˜
M
(M, δ, .) et I
˜
L
˜
M
(δ, .) sont
égales. L’égalité à prouver prend la forme
(2)
c I
˜
G
˜
M
(δ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
L
˜
M
(δ,
c θ
˜
G,E
˜
L
(f )).