VIII.3. L’application endoscopique
c θ
˜
G,E
˜
M
969
Comme toujours, il y a un cas particulier. Si (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à
torsion intérieure et si M
= M, on doit remplacer le terme
c S
G
(1)
M
(δ, f
G
(1) ) par
c S
˜
G
˜
M
(δ, f ). Dans ce cas, on a tautologiquement
c I
˜
G,E
˜
M
(M, δ, f ) =
c I
˜
G
˜
M
(δ, f ).
Le terme ainsi défini jouit des mêmes propriétés que le terme I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f )
défini en [II] 1.12. En particulier les propriétés démontrées en [II] 1.13, 1.14 et
1.15 valent aussi pour nos nouveaux objets. On peut alors poser la même définition qu’en [II] 1.15. C’est-à-dire, fixons un ensemble E( ˜
M , a) de représentants des
classes d’équivalence de données endoscopiques de (M, ˜
M, a) qui sont elliptiques
et relevantes. Soit γ ∈ D g´ eom, ˜
G -reg ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . On peut l’écrire sous
la forme
(1)
γ =
M ∈E( ˜
M,a)
transfert(δ M ),
avec des δ M ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -reg
(M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ . On pose
c I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) =
M ∈E( ˜
M,a)
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ M , f ).
La décomposition (1) n’est pas unique mais le terme ci-dessus ne dépend pas de
la décomposition choisie.
La propriété de compacité 1.9(2) se propage à notre distribution
c I
˜
G,E
˜
M
(γ, .).
Proposition (à prouver). Pour tout γ ∈ D g´ eom, ˜
G -reg ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et
tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )), on a l’égalité
c I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) =
c I
˜
G
˜
M (γ, f ).
Comme la proposition précédente, celle-ci sera prouvée en 4.3 dans le cas
où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. Elle sera prouvée en général
dans le même paragraphe, sous une hypothèse qui ne sera vérifiée qu’au chapitre
X, cf. [X] 3.5 et [X] 7.7.
Remarque. On s’est limité ici à des distributions γ à support fortement régulier
dans ˜
G. Cela parce qu’une définition correcte pour les éléments ne vérifiant pas
cette propriété nécessite l’introduction du système de fonctions B
˜
G de [II] 1.11.
Cela compliquerait grandement les choses alors que les distributions à support
fortement régulier suffiront aux applications. Mais, dans le cas où (G, ˜
G, a) est
quasi-déployé et à torsion intérieure, le recours au système de fonctions B
˜
G se
trivialise. Dans ce cas, on peut poser les mêmes définitions que ci-dessus et énoncer
la même proposition pour une distribution γ à support quelconque.
c θ
˜
G,E
˜
M
969
Comme toujours, il y a un cas particulier. Si (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à
torsion intérieure et si M
= M, on doit remplacer le terme
c S
G
(1)
M
(δ, f
G
(1) ) par
c S
˜
G
˜
M
(δ, f ). Dans ce cas, on a tautologiquement
c I
˜
G,E
˜
M
(M, δ, f ) =
c I
˜
G
˜
M
(δ, f ).
Le terme ainsi défini jouit des mêmes propriétés que le terme I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f )
défini en [II] 1.12. En particulier les propriétés démontrées en [II] 1.13, 1.14 et
1.15 valent aussi pour nos nouveaux objets. On peut alors poser la même définition qu’en [II] 1.15. C’est-à-dire, fixons un ensemble E( ˜
M , a) de représentants des
classes d’équivalence de données endoscopiques de (M, ˜
M, a) qui sont elliptiques
et relevantes. Soit γ ∈ D g´ eom, ˜
G -reg ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . On peut l’écrire sous
la forme
(1)
γ =
M ∈E( ˜
M,a)
transfert(δ M ),
avec des δ M ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -reg
(M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ . On pose
c I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) =
M ∈E( ˜
M,a)
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ M , f ).
La décomposition (1) n’est pas unique mais le terme ci-dessus ne dépend pas de
la décomposition choisie.
La propriété de compacité 1.9(2) se propage à notre distribution
c I
˜
G,E
˜
M
(γ, .).
Proposition (à prouver). Pour tout γ ∈ D g´ eom, ˜
G -reg ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et
tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )), on a l’égalité
c I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) =
c I
˜
G
˜
M (γ, f ).
Comme la proposition précédente, celle-ci sera prouvée en 4.3 dans le cas
où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. Elle sera prouvée en général
dans le même paragraphe, sous une hypothèse qui ne sera vérifiée qu’au chapitre
X, cf. [X] 3.5 et [X] 7.7.
Remarque. On s’est limité ici à des distributions γ à support fortement régulier
dans ˜
G. Cela parce qu’une définition correcte pour les éléments ne vérifiant pas
cette propriété nécessite l’introduction du système de fonctions B
˜
G de [II] 1.11.
Cela compliquerait grandement les choses alors que les distributions à support
fortement régulier suffiront aux applications. Mais, dans le cas où (G, ˜
G, a) est
quasi-déployé et à torsion intérieure, le recours au système de fonctions B
˜
G se
trivialise. Dans ce cas, on peut poser les mêmes définitions que ci-dessus et énoncer
la même proposition pour une distribution γ à support quelconque.