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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
Proposition. Supposons ˜
M = ˜
G et supposons que ˜
π est elliptique. Pour tout ˜
S ∈
P( ˜
M ), fixons un point ν ˜
S comme en 1.3. Supposons ce point «assez positif» pour
˜
S, cette notion dépendant de la représentation ˜
π. Alors on a l’égalité
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)I
˜
M (˜ π, ν ˜
S , X,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )) = 0
pour tout X ∈ ˜
A ˜
M,F .
Preuve. On reprend les notations de la première partie de la preuve du lemme
3.6. En vertu des égalités 3.6(1) et 3.1(1), on peut fixer M
= (M
, M
, ˜
ζ) et
˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ tel que G
(˜ s) soit elliptique et prouver l’égalité
(1)
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)S
M
(˜ π M , ν ˜
S , X,
c Sθ
G
(˜ s)
M (f
G
(˜ s) )) = 0.
Comme on l’a dit dans la preuve du lemme 3.6, les termes intervenant sont nuls si
X ∈ ˜
A ˜
M,F ∩ ˜
A ˜
M ,F . On peut donc supposer que X appartient à cette intersection.
La proposition 2.4 nous dit alors que l’on a une égalité
˜
S ∈P
˜
G (˜ s) ( ˜
M )
ω ˜
S (X)S
M
(˜ π M , ν ˜
S , X,
c Sθ
G
(˜ s)
M (f
G
(˜ s) )) = 0.
Le même calcul que dans la preuve de la proposition 2.4 montre que cette égalité
est équivalente à (1).
VIII.3.8 Egalité de deux applications linéaires
Proposition (à prouver). Soient f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )). On a l’égalité
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ) =
c θ
˜
G
˜
M (f ).
Cette proposition sera prouvée en 4.3 dans le cas où (G, ˜
G, a) est quasidéployé et à torsion intérieure. Elle sera prouvée en général dans le même paragraphe, sous une hypothèse qui ne sera vérifiée qu’au chapitre X, cf. [X] 3.5 et
[X] 7.7.
VIII.3.9 Variante des intégrales orbitales pondérées elliptiques
Soit M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique de (M, ˜
M, a) qui est elliptique
et relevante. Soit δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -reg
(M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ et soit f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗
Mes(G(F )). On pose
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
c S
G
(˜ s)
M (δ, f
G
(˜ s) ).
Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
Proposition. Supposons ˜
M = ˜
G et supposons que ˜
π est elliptique. Pour tout ˜
S ∈
P( ˜
M ), fixons un point ν ˜
S comme en 1.3. Supposons ce point «assez positif» pour
˜
S, cette notion dépendant de la représentation ˜
π. Alors on a l’égalité
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)I
˜
M (˜ π, ν ˜
S , X,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )) = 0
pour tout X ∈ ˜
A ˜
M,F .
Preuve. On reprend les notations de la première partie de la preuve du lemme
3.6. En vertu des égalités 3.6(1) et 3.1(1), on peut fixer M
= (M
, M
, ˜
ζ) et
˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ tel que G
(˜ s) soit elliptique et prouver l’égalité
(1)
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)S
M
(˜ π M , ν ˜
S , X,
c Sθ
G
(˜ s)
M (f
G
(˜ s) )) = 0.
Comme on l’a dit dans la preuve du lemme 3.6, les termes intervenant sont nuls si
X ∈ ˜
A ˜
M,F ∩ ˜
A ˜
M ,F . On peut donc supposer que X appartient à cette intersection.
La proposition 2.4 nous dit alors que l’on a une égalité
˜
S ∈P
˜
G (˜ s) ( ˜
M )
ω ˜
S (X)S
M
(˜ π M , ν ˜
S , X,
c Sθ
G
(˜ s)
M (f
G
(˜ s) )) = 0.
Le même calcul que dans la preuve de la proposition 2.4 montre que cette égalité
est équivalente à (1).
VIII.3.8 Egalité de deux applications linéaires
Proposition (à prouver). Soient f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )). On a l’égalité
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ) =
c θ
˜
G
˜
M (f ).
Cette proposition sera prouvée en 4.3 dans le cas où (G, ˜
G, a) est quasidéployé et à torsion intérieure. Elle sera prouvée en général dans le même paragraphe, sous une hypothèse qui ne sera vérifiée qu’au chapitre X, cf. [X] 3.5 et
[X] 7.7.
VIII.3.9 Variante des intégrales orbitales pondérées elliptiques
Soit M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique de (M, ˜
M, a) qui est elliptique
et relevante. Soit δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -reg
(M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ et soit f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗
Mes(G(F )). On pose
c I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
c S
G
(˜ s)
M (δ, f
G
(˜ s) ).