VIII.3. L’application endoscopique
c θ
˜
G,E
˜
M
967
Fixons maintenant un espace de Levi propre ˜
R de ˜
M et une ω-représentation
elliptique ˜
σ de ˜
R(F ). Posons ˜
π = Ind
˜
M
˜
R
(˜ σ). Soit X ∈ ˜
A ˜
M,F . D’après le lemme 3.5,
on a l’égalité
(2) I
˜
M (˜ π, (1 X ◦ ˜
H ˜
M )
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
˜
R (˜ σ, (1 X ◦ ˜
H ˜
M )
c θ
˜
L,E
˜
R
(f ˜
L,ω )).
Fixons un espace de Levi ˜
L ∈ L( ˜
R) tel que d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) = 0. On a une projection
Y → Y ˜
M de ˜
A ˜
R,F sur ˜
A ˜
M,F . On a l’égalité
(1 X ◦ ˜
H ˜
M )
c θ
˜
L,E
˜
R
(f ˜
L,ω ) =
Y ∈ ˜
A ˜
R,F ;Y ˜
M =X
(1 Y ◦ ˜
H ˜
R )
c θ
˜
L,E
˜
R
(f ˜
L,ω ).
La projection dans ˜
A ˜
L du support de
c θ
˜
L,E
˜
R
(f ˜
L,ω ) est compacte.
L’hypothèse d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) = 0 entraîne que l’ensemble des Y ∈ ˜
A ˜
R,F dont la
projection dans ˜
A ˜
L appartient à ce compact et dont la projection dans ˜
A ˜
M est X
est fini. La somme ci-dessus n’a donc qu’un nombre fini de termes non nuls. Il en
résulte l’égalité
(3)
I
˜
R (˜ σ, (1 X ◦ ˜
H ˜
M )
c θ
˜
L,E
˜
R
(f ˜
L,ω )) =
Y ∈ ˜
A ˜
R,F ;Y ˜
M =X
I
˜
R (˜ σ, Y,
c θ
˜
L,E
˜
R
(f ˜
L,ω )).
Puisque ˜
R = ˜
M , on sait par récurrence que la fonction Y → I
˜
R (˜ σ, Y,
c θ
˜
L,E
˜
R
(f ˜
L,ω ))
est à décroissance rapide. Donc l’expression ci-dessus est à décroissance rapide en
X. D’après (2), il en est de même de I
˜
M (˜ π, (1 X ◦ ˜
H ˜
M )
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )). En multipliant
(3) par e ˜
λ,X et en sommant en X, on obtient
X∈ ˜
A ˜
M ,F
e ˜
λ,X I
˜
R (˜ σ, (1 X ◦ ˜
H ˜
M )
c θ
˜
L,E
˜
R
(f ˜
L,ω )) = I
˜
R (˜ σ, ˜
λ,
c θ
˜
L,E
˜
R
(f ˜
L,ω )).
D’où, grâce à (2),
I
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
˜
R (˜ σ, ˜
λ,
c θ
˜
L,E
˜
R
(f ˜
L,ω )).
Les propriétés voulues du terme de gauche résultent des mêmes propriétés du
membre de droite, qui sont connues par récurrence.
VIII.3.7 Une propriété d’annulation
Soient f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) et ˜
π ∈ D temp ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . On
reprend les définitions et notations de 1.7.