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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
et ˜
A
∨
˜
M ,F
peuvent être distincts. Mais l’unicité de la décomposition ci-dessus assure
qu’il en est bien ainsi : ˜
π M , ˜
λ ne dépend que de ˜
λ modulo i ˜
A
∨
˜
M,F
.
Pour X ∈ ˜
A ˜
M,F , on a l’égalité
I
˜
M (˜ π, X,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )) = I
˜
M (˜ π, (1 X ◦ ˜
H ˜
M )
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )),
où 1 X est la fonction caractéristique de X dans ˜
A ˜
M . Appliquons (1). Pour tout
M
∈ E( ˜
M , a), le transfert à M
de la fonction
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ) est
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f ). Le transfert de la fonction (1 X ◦ ˜
H ˜
M )
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ) est (1 X ◦ ˜
H ˜
M )
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f ). D’où l’égalité
I
˜
M (˜ π, X,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )) =
M ∈E( ˜
M,a)
SI
M
(˜ π M , (1 X ◦ ˜
H ˜
M )
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f ))
=
M ∈E( ˜
M,a)
SI
M
(˜ π M , X,
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f )).
D’après 3.1(4), les fonctions
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f ) sont de Schwartz. L’expression ci-dessus
est donc à décroissance rapide en X. On peut donc définir la fonction ˜
λ →
I
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )) sur i ˜
A
∗
˜
M
/i ˜
A
∨
˜
M,F
par
I
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )) =
X∈ ˜
A ˜
M ,F
e ˜
λ,X I
˜
M (˜ π, X,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )).
Pour M
∈ E( ˜
M , a) on voit apparaître la somme
X∈ ˜
A ˜
M,F
e ˜
λ,X SI
M
(˜ π M , X,
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f )).
Pour X ∈ ˜
A ˜
M ,F , les termes SI
M
(˜ π M , X,
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f )) sont nuls par définition.
Parce que ˜
π M , ˜
λ ne dépend que de ˜
λ modulo i ˜
A
∨
˜
M,F
, les mêmes termes sont nuls
pour X ∈ ˜
A ˜
M ,F − ( ˜
A ˜
M,F ∩ ˜
A ˜
M ,F ). On peut donc remplacer l’ensemble de sommation ci-dessus par ˜
A ˜
M ,F . La somme devient SI
M
(˜ π M , ˜
λ,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )). On obtient
(1)
I
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )) =
M ∈E( ˜
M,a)
SI
M
(˜ π M , ˜
λ,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )).
Grâce à 3.1(4), cette fonction se prolonge en une fonction rationnelle sur
˜
A ˜
M,C /i ˜
A
∗
˜
M,F
avec des hyperplans polaires de la forme habituelle. Cela démontre
les propriétés voulues pour une ω-représentation elliptique.