VIII.3. L’application endoscopique
c θ
˜
G,E
˜
M
965
telle donnée R
, on peut trouver une donnée endoscopique M
de (M, ˜
M , a) qui est
elliptique et relevante, de sorte que R
soit une «donnée de Levi» de M
. L’égalité
cherchée résulte alors de la proposition 3.3 et de la relation
(ϕ ˜
R,ω )
R
= (ϕ
M
) R
pour tout ϕ ∈ I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )).
VIII.3.6
c θ
˜
G,E
˜
M
(f) est de Schwartz
Lemme. Soit f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )). Alors
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ) est une fonction de
Schwartz. Pour tout
˜
π ∈ D temp ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ,
la fonction ˜
λ → I
˜
G (˜ π, ˜
λ,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )) définie pour ˜
λ ∈ i ˜
A
∗
˜
M
/i ˜
A
∨
˜
M,F
se prolonge en
une fonction rationnelle sur ˜
A
∗
˜
M,C
/i ˜
A
∨
˜
M,F
dont les pôles sont de la forme décrite
en 1.8(2).
Preuve. Soit ˜
π ∈ D temp ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . On doit montrer que la fonction X → I
˜
M (˜ π, X,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )) définie sur ˜
A ˜
M ,F est à décroissance rapide. On doit
ensuite étudier la fonction ˜
λ → I
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c θ
˜
G,E
˜
M
(f )). Par linéarité, on peut supposer
soit que ˜
π est elliptique, soit qu’il existe un espace de Levi propre ˜
R de ˜
M et une
ω-représentation elliptique ˜
σ de ˜
R(F ) de sorte que ˜
π = Ind
˜
M
˜
R
(˜ σ).
Supposons d’abord ˜
π elliptique. Fixons un ensemble de représentants E( ˜
M , a)
des classes d’équivalence de données endoscopiques elliptiques et relevantes de
(M, ˜
M , a). Rappelons que le transfert définit un isomorphisme
⊕ M ∈E( ˜
M,a) (D
st
ell (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ )
Aut(M
)
→ D ell ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ .
On écrit conformément
(1)
˜
π =
M ∈E( ˜
M,a)
transfert(˜ π M ),
où ˜
π M ∈ (D
st
ell (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ )
Aut(M
) . Pour ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
M,C
, il est clair que
˜
π ˜
λ =
M ∈E( ˜
M,a)
transfert(˜ π M , ˜
λ ).
Le membre de gauche ne dépend que de ˜
λ modulo i ˜
A
∨
˜
M,F
. Il n’est pas clair a
priori que chaque terme ˜
π M , ˜
λ vérifie la même propriété, car les ensembles ˜
A
∨
˜
M,F