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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
Preuve. Fixons un ensemble de représentants E( ˜
M , a) des classes d’équivalence de
données endoscopiques elliptiques et relevantes de (M, ˜
M , a). Soit f ∈ I( ˜
G(F ), ω)⊗
Mes(G(F )). Pour M
∈ E( ˜
M , a), posons ϕ M =
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f ). On a ϕ M ∈
SI ac (M
) ⊗ Mes(M
(F )). Oublions pour un instant l’indice ac, c’est-à-dire supposons ϕ M ∈ SI(M
) ⊗ Mes(M
(F )). On a décrit dans la proposition [I] 4.11
l’image I
E ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) de l’application de transfert
I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) → ⊕ M ∈E( ˜
M,a) SI(M
) ⊗ Mes(M
(F )).
Il s’agit de montrer que la collection (ϕ M ) M ∈E( ˜
M,a) appartient à cette image. Elle
doit pour cela vérifier les conditions (1), (2) et (3) de [I] 4.11. La condition d’invariance par automorphismes est le lemme 3.2. Les deux autres conditions résultent
de la proposition 3.3. Cela conclut sous l’hypothèse faite ci-dessus. Levons cette
hypothèse. Soit b une fonction à support compact sur ˜
A ˜
M . Pour M
∈ E( ˜
M , a), on
a ϕ M (b◦ ˜
H ˜
M ) ∈ SI(M
)⊗Mes(M
(F )). On peut appliquer le même raisonnement
à la collection (ϕ M (b ◦ ˜
H ˜
M )) M ∈E( ˜
M,a) . Celle-ci est donc le transfert d’un unique
élément ϕ[b] ∈ I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )). En choisissant une suite de fonctions
(b i ) i∈N localement finie et telle que
i∈N b i soit constante de valeur 1, on vérifie aisément que la suite de fonctions (ϕ[b i ]) i∈N est localement finie. La série
i∈N ϕ[b i ]
converge donc et est son transfert est bien la collection (ϕ M ) M ∈E( ˜
M,a) . Il faut
toutefois vérifier que la somme de la série appartient à I ac ( ˜
M (F ), ω)⊗Mes(M (F )),
c’est-à-dire qu’elle provient d’une fonction sur ˜
M (F ) qui est biinvariante par un
sous-groupe ouvert compact. Pour chaque M
∈ E( ˜
M , a), fixons des données auxiliaires M
1 , . . . , Δ 1 . Identifions ϕ M à un élément de SI ac,λ1 ( ˜
M
1 (F ))⊗Mes(M
(F )).
Par définition de cet espace, on peut fixer un sous-groupe ouvert compact K M
1
de M
1 (F ) de sorte que ϕ M provienne d’une fonction sur ˜
M
1 (F ) biinvariante par
K M
1
. Il en résulte que, pour tout i ∈ N, ϕ M (b i ◦ H ˜
M ) provient d’une fonction sur
˜
M
1 (F ) biinvariante par K M
1
. D’après le corollaire [XI] 6, il existe un sous-groupe
ouvert compact K M de M (F ), qui ne dépend que des K M
1
(donc qui ne dépend
pas de i), de sorte que ϕ[b i ] provienne d’une fonction sur ˜
M (F ) qui est biinvariante
par K M . Alors la somme de la série
i∈N ϕ[b i ] provient elle-aussi d’une fonction
biinvariante par K M . Cela achève la preuve.
VIII.3.5 Commutation à l’induction
Lemme. Soient ˜
R un espace de Levi de ˜
M et f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )). On a
l’égalité
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ) ˜
R,ω =
˜
L∈L( ˜
M)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)
c θ
˜
L,E
˜
R
(f ˜
L,ω ).
Preuve. Il suffit de voir que, pour toute donnée endoscopique R
de (R, ˜
R, a) qui
est elliptique et relevante, les deux membres ont même transfert à R
. Pour une
Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
Preuve. Fixons un ensemble de représentants E( ˜
M , a) des classes d’équivalence de
données endoscopiques elliptiques et relevantes de (M, ˜
M , a). Soit f ∈ I( ˜
G(F ), ω)⊗
Mes(G(F )). Pour M
∈ E( ˜
M , a), posons ϕ M =
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f ). On a ϕ M ∈
SI ac (M
) ⊗ Mes(M
(F )). Oublions pour un instant l’indice ac, c’est-à-dire supposons ϕ M ∈ SI(M
) ⊗ Mes(M
(F )). On a décrit dans la proposition [I] 4.11
l’image I
E ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) de l’application de transfert
I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )) → ⊕ M ∈E( ˜
M,a) SI(M
) ⊗ Mes(M
(F )).
Il s’agit de montrer que la collection (ϕ M ) M ∈E( ˜
M,a) appartient à cette image. Elle
doit pour cela vérifier les conditions (1), (2) et (3) de [I] 4.11. La condition d’invariance par automorphismes est le lemme 3.2. Les deux autres conditions résultent
de la proposition 3.3. Cela conclut sous l’hypothèse faite ci-dessus. Levons cette
hypothèse. Soit b une fonction à support compact sur ˜
A ˜
M . Pour M
∈ E( ˜
M , a), on
a ϕ M (b◦ ˜
H ˜
M ) ∈ SI(M
)⊗Mes(M
(F )). On peut appliquer le même raisonnement
à la collection (ϕ M (b ◦ ˜
H ˜
M )) M ∈E( ˜
M,a) . Celle-ci est donc le transfert d’un unique
élément ϕ[b] ∈ I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )). En choisissant une suite de fonctions
(b i ) i∈N localement finie et telle que
i∈N b i soit constante de valeur 1, on vérifie aisément que la suite de fonctions (ϕ[b i ]) i∈N est localement finie. La série
i∈N ϕ[b i ]
converge donc et est son transfert est bien la collection (ϕ M ) M ∈E( ˜
M,a) . Il faut
toutefois vérifier que la somme de la série appartient à I ac ( ˜
M (F ), ω)⊗Mes(M (F )),
c’est-à-dire qu’elle provient d’une fonction sur ˜
M (F ) qui est biinvariante par un
sous-groupe ouvert compact. Pour chaque M
∈ E( ˜
M , a), fixons des données auxiliaires M
1 , . . . , Δ 1 . Identifions ϕ M à un élément de SI ac,λ1 ( ˜
M
1 (F ))⊗Mes(M
(F )).
Par définition de cet espace, on peut fixer un sous-groupe ouvert compact K M
1
de M
1 (F ) de sorte que ϕ M provienne d’une fonction sur ˜
M
1 (F ) biinvariante par
K M
1
. Il en résulte que, pour tout i ∈ N, ϕ M (b i ◦ H ˜
M ) provient d’une fonction sur
˜
M
1 (F ) biinvariante par K M
1
. D’après le corollaire [XI] 6, il existe un sous-groupe
ouvert compact K M de M (F ), qui ne dépend que des K M
1
(donc qui ne dépend
pas de i), de sorte que ϕ[b i ] provienne d’une fonction sur ˜
M (F ) qui est biinvariante
par K M . Alors la somme de la série
i∈N ϕ[b i ] provient elle-aussi d’une fonction
biinvariante par K M . Cela achève la preuve.
VIII.3.5 Commutation à l’induction
Lemme. Soient ˜
R un espace de Levi de ˜
M et f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )). On a
l’égalité
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ) ˜
R,ω =
˜
L∈L( ˜
M)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)
c θ
˜
L,E
˜
R
(f ˜
L,ω ).
Preuve. Il suffit de voir que, pour toute donnée endoscopique R
de (R, ˜
R, a) qui
est elliptique et relevante, les deux membres ont même transfert à R
. Pour une