VIII.3. L’application endoscopique
c θ
˜
G,E
˜
M
963
(b) Soit R
un groupe de Levi de M
qui n’est pas relevant. La donnée R
n’est
plus définie et l’homomorphisme du (i) n’a plus de sens. Par contre, pour
ϕ ∈ SI ac (M
) ⊗ Mes(M
(F )), la relation ϕ ˜
R = 0 conserve un sens. On fixe
des données auxilaires M
1 , . . . , Δ 1 pour M
. On identifie ϕ à un élément
ϕ 1 ∈ SI ac,λ1 ( ˜
M
1 (F )) ⊗ Mes(M
(F )). La relation signifie que (ϕ 1 ) ˜
R
1
= 0, ce
qui ne dépend pas du choix des données auxiliaires.
Proposition. Soit f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )).
(i) Dans la situation (a), on a l’égalité
(
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f )) R =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)
c θ
˜
L,E
˜
R
(R
, f ˜
L,ω )
(ii) Dans la situation (b), on a l’égalité
(
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f )) ˜
R = 0.
Preuve. Dans la situation (a), soit δ ∈ D
st
g´ eom (R
) ⊗ Mes(R
(F )). On doit prouver
l’égalité
SI
M
(δ
M
,
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f )) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)SI
R
(δ,
c θ
˜
L,E
˜
R
(R
, f ˜
L,ω )).
Dans la situation (b), fixons des données auxiliaires M
1 , . . . , Δ 1 pour M
. Soit δ ∈
D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
R
1 (F )) ⊗ Mes(R
(F )). L’induite δ
˜
M
1 appartient à D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (F )) ⊗
Mes(M
(F )). On l’identifie à un élément de D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F )) que l’on
note δ
M
. On doit prouver l’égalité
SI
M
(δ
M
,
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f )) = 0.
La preuve de ces assertions est la même que celle de (i) et (iii) de la proposition
[II] 1.14, en utilisant la relation initiale fournie par le lemme 1.6.
VIII.3.4 Définition de
c θ
˜
G,E
˜
M
Proposition. Il existe une unique application linéaire
c θ
˜
G,E
˜
M
: I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → I ac ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
telle que, pour toute donnée endoscopique M
de (M, ˜
M , a) qui est elliptique et
relevante et pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )), on ait l’égalité
(
c θ
˜
G,E
˜
M
(f ))
M
=
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f ).