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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
propageait aux applications
c Sθ
˜
G
˜
M
. Il résulte de la définition (1) ci-dessus qu’on a
l’égalité
(3)
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f (b ◦ ˜
H ˜
G )) =
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f )(b ◦ p
˜
G
˜
M ◦ ˜
H ˜
M ).
Remarque. L’identification ˜
A ˜
M = ˜
A ˜
M n’envoie pas nécessairement ˜
A ˜
M ,F dans
˜
A ˜
M,F . Donc p
˜
G
˜
M n’envoie pas nécessairement ˜
A ˜
M ,F dans ˜
A ˜
G,F . Le membre de
gauche ci-dessus ne dépend que de la restriction de b à ˜
A ˜
G,F . L’égalité entraîne que
c’est aussi le cas du membre de droite mais cela ne résulte pas trivialement de la
définition de celui-ci. L’explication est que, par définition du transfert, les supports
des transferts f
G
(˜ s) sont formés d’éléments δ ∈ ˜
G
(˜ s; F ) tels que ˜
H ˜
G (˜ s) (δ) ∈ ˜
A ˜
G,F .
Il résulte de (1) et de ce que l’on a dit en 2.4 que
(4) pour tout
f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )),
la fonction
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f ) est de Schwartz ; pour tout
˜
π ∈ D
st
temp (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ ,
la fonction ˜
λ → SI
M
(˜ π, ˜
λ,
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f )) définie sur i ˜
A
∗
˜
M /i ˜
A
∨
˜
M ,F
se prolonge en une fonction rationnelle sur ˜
A
∗
˜
M ,C
/i ˜
A
∨
˜
M ,F
dont les pôles sont de la
forme décrite en 1.8(2).
VIII.3.2 Action d’un groupe d’automorphismes
On conserve les mêmes données. On a introduit en [I] 3.2 le groupe d’automorphismes Aut( ˜
M , M
). Il agit sur SI ac (M
) ⊗ Mes(M
(F )).
Lemme. L’application
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
) prend ses valeurs dans le sous-espace d’invariants (SI ac (M
) ⊗ Mes(M
(F )))
Aut( ˜
M,M
) .
La preuve est similaire à celle du lemme [II] 1.13.
VIII.3.3 Commutation à l’induction
On conserve les mêmes données. On considère les situations suivantes.
(a) Soit R
un groupe de Levi de M
qui est relevant. Modulo certains choix, cf.
[I] 3.4, on construit un espace de Levi ˜
R de ˜
M et une donnée endoscopique R
de ˜
R qui est elliptique et relevante. On a l’homomorphisme «terme constant»
SI ac (M
) ⊗ Mes(M
(F )) → SI ac (R
) ⊗ Mes(R
(F ))
ϕ
→
ϕ R .
Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
propageait aux applications
c Sθ
˜
G
˜
M
. Il résulte de la définition (1) ci-dessus qu’on a
l’égalité
(3)
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f (b ◦ ˜
H ˜
G )) =
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f )(b ◦ p
˜
G
˜
M ◦ ˜
H ˜
M ).
Remarque. L’identification ˜
A ˜
M = ˜
A ˜
M n’envoie pas nécessairement ˜
A ˜
M ,F dans
˜
A ˜
M,F . Donc p
˜
G
˜
M n’envoie pas nécessairement ˜
A ˜
M ,F dans ˜
A ˜
G,F . Le membre de
gauche ci-dessus ne dépend que de la restriction de b à ˜
A ˜
G,F . L’égalité entraîne que
c’est aussi le cas du membre de droite mais cela ne résulte pas trivialement de la
définition de celui-ci. L’explication est que, par définition du transfert, les supports
des transferts f
G
(˜ s) sont formés d’éléments δ ∈ ˜
G
(˜ s; F ) tels que ˜
H ˜
G (˜ s) (δ) ∈ ˜
A ˜
G,F .
Il résulte de (1) et de ce que l’on a dit en 2.4 que
(4) pour tout
f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )),
la fonction
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f ) est de Schwartz ; pour tout
˜
π ∈ D
st
temp (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ ,
la fonction ˜
λ → SI
M
(˜ π, ˜
λ,
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f )) définie sur i ˜
A
∗
˜
M /i ˜
A
∨
˜
M ,F
se prolonge en une fonction rationnelle sur ˜
A
∗
˜
M ,C
/i ˜
A
∨
˜
M ,F
dont les pôles sont de la
forme décrite en 1.8(2).
VIII.3.2 Action d’un groupe d’automorphismes
On conserve les mêmes données. On a introduit en [I] 3.2 le groupe d’automorphismes Aut( ˜
M , M
). Il agit sur SI ac (M
) ⊗ Mes(M
(F )).
Lemme. L’application
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
) prend ses valeurs dans le sous-espace d’invariants (SI ac (M
) ⊗ Mes(M
(F )))
Aut( ˜
M,M
) .
La preuve est similaire à celle du lemme [II] 1.13.
VIII.3.3 Commutation à l’induction
On conserve les mêmes données. On considère les situations suivantes.
(a) Soit R
un groupe de Levi de M
qui est relevant. Modulo certains choix, cf.
[I] 3.4, on construit un espace de Levi ˜
R de ˜
M et une donnée endoscopique R
de ˜
R qui est elliptique et relevante. On a l’homomorphisme «terme constant»
SI ac (M
) ⊗ Mes(M
(F )) → SI ac (R
) ⊗ Mes(R
(F ))
ϕ
→
ϕ R .