VIII.3. L’application endoscopique
c θ
˜
G,E
˜
M
961
Proposition. Pour tout δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ , la distribution
f →
c S
˜
G
˜
M (δ, f )
est stable.
Cette proposition sera prouvée en 4.2.
Par récurrence, on voit que notre distribution vérifie la propriété de compacité
1.9(2).
VIII.3 L’application endoscopique
c θ
˜
G,E
˜
M
VIII.3.1 Définition d’une première application endoscopique
Le triplet (G, ˜
G, a) est quelconque et on fixe un espace de Levi ˜
M de ˜
G. Soit
M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique de (M, ˜
M , a) qui est elliptique et
relevante. On définit une application linéaire
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
) : I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → SI ac (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
par l’égalité
(1)
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
c Sθ
G
(˜ s)
M (f
G
(˜ s) ).
Les mêmes considérations formelles qu’en 2.2 permettent de définir les termes du
membre de droite. Ces termes sont bien définis car les distributions qui apparaissent vérifient par récurrence la proposition 2.2, c’est-à-dire sont stables, sauf
dans un cas. C’est celui où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et où
M
= M. On ne connaît pas alors les propriétés du terme indexé par s = 1. On le
remplace alors par
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ). Par définition de ce dernier terme, on a alors l’égalité
tautologique
(2)
c θ
˜
G,E
˜
M
(M, f ) = p
st
˜
M
◦
c θ
˜
G
˜
M (f ).
Soit b une fonction sur ˜
A ˜
G à valeurs complexes. Pour tout ˜
s intervenant dans
la somme ci-dessus, on a une identification ˜
A ˜
G (˜ s) = ˜
A ˜
G et on peut considérer
b comme une fonction sur le premier espace. D’autre part, la composée de la
projection ˜
A ˜
M → ˜
A ˜
G (˜ s) et de l’identification ci-dessus est indépendante de ˜
s.
Elle coïncide en effet avec la composée de l’identification ˜
A ˜
M = ˜
A ˜
M et de la
projection de cet espace sur ˜
A ˜
G . Notons p
˜
G
˜
M cette composée. D’après 2.1(1), on
a (f (b ◦ ˜
H ˜
G ))
G
(˜ s) = f
G
(˜ s) (b ◦ ˜
H ˜
G (˜ s) ). On a déjà dit que la propriété 1.6(3) se
c θ
˜
G,E
˜
M
961
Proposition. Pour tout δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ , la distribution
f →
c S
˜
G
˜
M (δ, f )
est stable.
Cette proposition sera prouvée en 4.2.
Par récurrence, on voit que notre distribution vérifie la propriété de compacité
1.9(2).
VIII.3 L’application endoscopique
c θ
˜
G,E
˜
M
VIII.3.1 Définition d’une première application endoscopique
Le triplet (G, ˜
G, a) est quelconque et on fixe un espace de Levi ˜
M de ˜
G. Soit
M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique de (M, ˜
M , a) qui est elliptique et
relevante. On définit une application linéaire
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
) : I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → SI ac (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
par l’égalité
(1)
c θ
˜
G,E
˜
M
(M
, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
c Sθ
G
(˜ s)
M (f
G
(˜ s) ).
Les mêmes considérations formelles qu’en 2.2 permettent de définir les termes du
membre de droite. Ces termes sont bien définis car les distributions qui apparaissent vérifient par récurrence la proposition 2.2, c’est-à-dire sont stables, sauf
dans un cas. C’est celui où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et où
M
= M. On ne connaît pas alors les propriétés du terme indexé par s = 1. On le
remplace alors par
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ). Par définition de ce dernier terme, on a alors l’égalité
tautologique
(2)
c θ
˜
G,E
˜
M
(M, f ) = p
st
˜
M
◦
c θ
˜
G
˜
M (f ).
Soit b une fonction sur ˜
A ˜
G à valeurs complexes. Pour tout ˜
s intervenant dans
la somme ci-dessus, on a une identification ˜
A ˜
G (˜ s) = ˜
A ˜
G et on peut considérer
b comme une fonction sur le premier espace. D’autre part, la composée de la
projection ˜
A ˜
M → ˜
A ˜
G (˜ s) et de l’identification ci-dessus est indépendante de ˜
s.
Elle coïncide en effet avec la composée de l’identification ˜
A ˜
M = ˜
A ˜
M et de la
projection de cet espace sur ˜
A ˜
G . Notons p
˜
G
˜
M cette composée. D’après 2.1(1), on
a (f (b ◦ ˜
H ˜
G ))
G
(˜ s) = f
G
(˜ s) (b ◦ ˜
H ˜
G (˜ s) ). On a déjà dit que la propriété 1.6(3) se