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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
Les définitions de 1.7 s’adaptent aux fonctions appartenant à SI( ˜
M (F )) ⊗
Mes(M (F )) et on utilise des notations similaires. Il suffit de se limiter dans les
définitions de ce paragraphe aux représentations appartenant à D
st
temp ( ˜
M (F )). Soit
f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). On voit par récurrence que la fonction
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ) est
de Schwartz. Soit ˜
π ∈ D
st
temp ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . On voit de même que la
fonction ˜
λ → S
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) sur i ˜
A
∗
˜
M
/i ˜
A
∨
˜
M,F
vérifie la propriété 1.8(2).
Proposition. Supposons ˜
M = ˜
G et ˜
π elliptique. Pour tout ˜
S ∈ P( ˜
M ), fixons un
point ν ˜
S comme en 1.3. Supposons ce point «assez positif» pour ˜
S, cette notion
dépendant de la représentation ˜
π. Alors on a l’égalité
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)S
˜
M (˜ π, ν ˜
S , X,
c Sθ
˜
G
˜
M (f )) = 0
pour tout X ∈ ˜
A ˜
M ,F .
Preuve. Pour tous points ν et X, on a par définition l’égalité
S
˜
M (˜ π, ν, X,
c Sθ
˜
G
˜
M (f )) = I
˜
M (˜ π, ν, X,
c θ
˜
G
˜
M (f ))
−
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,
s =1
S
M (˜ π, ν, X,
c Sθ
G
(s)
M
(f
G
(s) )).
Le premier terme vérifie la relation de l’énoncé d’après la proposition 1.8. Fixons
s apparaissant ci-dessus. On doit prouver la relation de l’énoncé pour le terme
indexé par s dans la somme ci-dessus. On a dit en 2.1 qu’il y avait une application
naturelle ˜
S → ˜
S
de P
˜
G ( ˜
M ) dans P
˜
G
(s) ( ˜
M ). Pour de tels ˜
S et ˜
S
, la fonction
˜
λ → S
M (˜ π, ˜
λ,
c Sθ
G
(s)
M
(f
G
(s) )) n’a pas de pôle sur le segment joignant ν ˜
S à ν ˜
S .
Cela nous permet de remplacer dans la relation de l’énoncé le point ν ˜
S par ν ˜
S .
On vertu de la définition 2.1(2) de la fonction ω ˜
S , la relation à démontrer devient
celle de l’énoncé pour ˜
G
(s), ou plutôt G
(s), et la fonction f
G
(s) . Celle-ci est
vérifiée par récurrence puisque s = 1.
VIII.2.5 Une variante des intégrales orbitales pondérées stables
Soit δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . On définit une forme linéaire
c S
˜
G
˜
M
(δ, .) par
la formule habituelle
c S
˜
G
˜
M
(δ, f ) =
c I
˜
G
˜
M (δ, f ) −
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))
c S
G
(s)
M
(δ, f
G
(s) ).
Outre quelques formalités que l’on passe, cette définition utilise par récurrence la
propriété suivante.
Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
Les définitions de 1.7 s’adaptent aux fonctions appartenant à SI( ˜
M (F )) ⊗
Mes(M (F )) et on utilise des notations similaires. Il suffit de se limiter dans les
définitions de ce paragraphe aux représentations appartenant à D
st
temp ( ˜
M (F )). Soit
f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). On voit par récurrence que la fonction
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ) est
de Schwartz. Soit ˜
π ∈ D
st
temp ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . On voit de même que la
fonction ˜
λ → S
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) sur i ˜
A
∗
˜
M
/i ˜
A
∨
˜
M,F
vérifie la propriété 1.8(2).
Proposition. Supposons ˜
M = ˜
G et ˜
π elliptique. Pour tout ˜
S ∈ P( ˜
M ), fixons un
point ν ˜
S comme en 1.3. Supposons ce point «assez positif» pour ˜
S, cette notion
dépendant de la représentation ˜
π. Alors on a l’égalité
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)S
˜
M (˜ π, ν ˜
S , X,
c Sθ
˜
G
˜
M (f )) = 0
pour tout X ∈ ˜
A ˜
M ,F .
Preuve. Pour tous points ν et X, on a par définition l’égalité
S
˜
M (˜ π, ν, X,
c Sθ
˜
G
˜
M (f )) = I
˜
M (˜ π, ν, X,
c θ
˜
G
˜
M (f ))
−
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,
s =1
S
M (˜ π, ν, X,
c Sθ
G
(s)
M
(f
G
(s) )).
Le premier terme vérifie la relation de l’énoncé d’après la proposition 1.8. Fixons
s apparaissant ci-dessus. On doit prouver la relation de l’énoncé pour le terme
indexé par s dans la somme ci-dessus. On a dit en 2.1 qu’il y avait une application
naturelle ˜
S → ˜
S
de P
˜
G ( ˜
M ) dans P
˜
G
(s) ( ˜
M ). Pour de tels ˜
S et ˜
S
, la fonction
˜
λ → S
M (˜ π, ˜
λ,
c Sθ
G
(s)
M
(f
G
(s) )) n’a pas de pôle sur le segment joignant ν ˜
S à ν ˜
S .
Cela nous permet de remplacer dans la relation de l’énoncé le point ν ˜
S par ν ˜
S .
On vertu de la définition 2.1(2) de la fonction ω ˜
S , la relation à démontrer devient
celle de l’énoncé pour ˜
G
(s), ou plutôt G
(s), et la fonction f
G
(s) . Celle-ci est
vérifiée par récurrence puisque s = 1.
VIII.2.5 Une variante des intégrales orbitales pondérées stables
Soit δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . On définit une forme linéaire
c S
˜
G
˜
M
(δ, .) par
la formule habituelle
c S
˜
G
˜
M
(δ, f ) =
c I
˜
G
˜
M (δ, f ) −
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))
c S
G
(s)
M
(δ, f
G
(s) ).
Outre quelques formalités que l’on passe, cette définition utilise par récurrence la
propriété suivante.