VIII.2. Stabilisation de l’application
c θ ˜
M
959
Soient f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )) ⊗ Mes(G(F )) et f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )) ⊗ Mes(G(F )) qui
se correspondent par le premier isomorphisme. Alors
c Sθ
˜
G
˜
M ,λ
(f ) et
c Sθ
˜
G
˜
M ,λ
(f )
se correspondent par le second. La preuve est similaire à celle de [II] 1.10(7).
Rappelons-en seulement la structure. On commence par prouver que les deux
termes sont égaux à des termes analogues relatifs aux extensions communes G ,,
et ˜
G ,, , où le caractère de C (F ) × C (F ) est λ ⊗ 1 pour le premier terme et 1 ⊗ λ
pour le second. On passe de l’un à l’autre par tensorisation par le caractère affine
˜
λ ,, . Cette tensorisation est compatible à nos constructions parce que l’on voit par
récurrence que nos distributions vérifient l’analogue de 1.6(5).
Cela étant, pour un élément s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF tel que G
(s) est elliptique,
on choisit des données auxiliaires G
1 (s), . . . , Δ 1 (s). On définit comme ci-dessus
l’application linéaire
c Sθ
˜
G
1 (s)
˜
M1(s),λ1(s)
: C
∞
c,λ1(s) ( ˜
G
1 (s; F )) ⊗ Mes(G
(s; F ))
→ SI ac,λ1(s) ( ˜
M 1 (s; F )) ⊗ Mes(M (F )).
La propriété précédente assure que, quand on change de données auxiliaires, ces
applications se recollent en une application linéaire
c Sθ
G
(s)
M
: C
∞
c (G
(s)) ⊗ Mes(G
(s; F )) → SI ac (M) ⊗ Mes(M (F )).
Elle se quotiente en tout cas en une application définie sur I(G
(s))⊗Mes(G
(s; F ))
et, pourvu que la proposition soit démontrée pour ˜
G
1 (s) et pour un choix de
données auxiliaires, en une application définie sur SI(G
(s)) ⊗ Mes(G
(s; F )).
VIII.2.3 Commutation à l’induction
Lemme. Soit ˜
R un espace de Levi de ˜
M . Pour tout f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on
a l’égalité
(
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) ˜
R =
˜
L∈L( ˜
R)
e
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)
c Sθ
˜
L
˜
R
(f ˜
L ).
En utilisant le lemme 1.6, la preuve est similaire à celle de la proposition [II]
1.14(ii).
VIII.2.4 Une propriété d’annulation
Rappelons que l’on a défini l’espace D
st
temp ( ˜
M (F )) qui est le sous-espace des éléments de D temp ( ˜
M (F )) qui sont des distributions stables. On définit de même
l’espace D
st
ell ( ˜
M (F )). Fixons pour simplifier un espace de Levi minimal ˜
M 0 ⊂ ˜
M .
Il est prouvé en [XI] corollaire 2.1 que l’induction fournit un isomorphisme
D
st
temp ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
= ⊕ ˜
R∈L
˜
M ( ˜
M0)/W M ( ˜
M0) Ind
˜
M
˜
R
((D
st
ell ( ˜
R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F ))
∗ )
W
M ( ˜
R) .
c θ ˜
M
959
Soient f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )) ⊗ Mes(G(F )) et f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )) ⊗ Mes(G(F )) qui
se correspondent par le premier isomorphisme. Alors
c Sθ
˜
G
˜
M ,λ
(f ) et
c Sθ
˜
G
˜
M ,λ
(f )
se correspondent par le second. La preuve est similaire à celle de [II] 1.10(7).
Rappelons-en seulement la structure. On commence par prouver que les deux
termes sont égaux à des termes analogues relatifs aux extensions communes G ,,
et ˜
G ,, , où le caractère de C (F ) × C (F ) est λ ⊗ 1 pour le premier terme et 1 ⊗ λ
pour le second. On passe de l’un à l’autre par tensorisation par le caractère affine
˜
λ ,, . Cette tensorisation est compatible à nos constructions parce que l’on voit par
récurrence que nos distributions vérifient l’analogue de 1.6(5).
Cela étant, pour un élément s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF tel que G
(s) est elliptique,
on choisit des données auxiliaires G
1 (s), . . . , Δ 1 (s). On définit comme ci-dessus
l’application linéaire
c Sθ
˜
G
1 (s)
˜
M1(s),λ1(s)
: C
∞
c,λ1(s) ( ˜
G
1 (s; F )) ⊗ Mes(G
(s; F ))
→ SI ac,λ1(s) ( ˜
M 1 (s; F )) ⊗ Mes(M (F )).
La propriété précédente assure que, quand on change de données auxiliaires, ces
applications se recollent en une application linéaire
c Sθ
G
(s)
M
: C
∞
c (G
(s)) ⊗ Mes(G
(s; F )) → SI ac (M) ⊗ Mes(M (F )).
Elle se quotiente en tout cas en une application définie sur I(G
(s))⊗Mes(G
(s; F ))
et, pourvu que la proposition soit démontrée pour ˜
G
1 (s) et pour un choix de
données auxiliaires, en une application définie sur SI(G
(s)) ⊗ Mes(G
(s; F )).
VIII.2.3 Commutation à l’induction
Lemme. Soit ˜
R un espace de Levi de ˜
M . Pour tout f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on
a l’égalité
(
c Sθ
˜
G
˜
M
(f )) ˜
R =
˜
L∈L( ˜
R)
e
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)
c Sθ
˜
L
˜
R
(f ˜
L ).
En utilisant le lemme 1.6, la preuve est similaire à celle de la proposition [II]
1.14(ii).
VIII.2.4 Une propriété d’annulation
Rappelons que l’on a défini l’espace D
st
temp ( ˜
M (F )) qui est le sous-espace des éléments de D temp ( ˜
M (F )) qui sont des distributions stables. On définit de même
l’espace D
st
ell ( ˜
M (F )). Fixons pour simplifier un espace de Levi minimal ˜
M 0 ⊂ ˜
M .
Il est prouvé en [XI] corollaire 2.1 que l’induction fournit un isomorphisme
D
st
temp ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
= ⊕ ˜
R∈L
˜
M ( ˜
M0)/W M ( ˜
M0) Ind
˜
M
˜
R
((D
st
ell ( ˜
R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F ))
∗ )
W
M ( ˜
R) .