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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
la définition (1) que l’application
c Sθ
˜
G
˜
M
vérifie la relation 1.6(3) (la vérification
précise nécessite encore quelques considérations formelles que l’on passe). Il en
résulte que, pour tout γ ∈ ˜
M (F ), la fonction c → ˙
ϕ(cγ ) est à support compact.
On peut alors définir ϕ ∈ SI ac,λ (M (F )) par
ϕ(γ ) =
C (F )
˙
ϕ(cγ )λ (c) dc.
Remarque. L’espace SI ac,λ (M (F )) se déduit de C
∞
ac,λ
(M (F )). Ce dernier est
celui des fonctions ψ : M (F ) → C qui se transforment par C (F ) selon le caractère
λ , qui sont biinvariantes par un sous-groupe ouvert compact de M (F ) et qui
vérifient la condition suivante. Soit b une fonction à support compact sur ˜
A ˜
M,F .
Notons b sa composée avec la projection ˜
A ˜
M ,F → ˜
A ˜
M,F . Alors la fonction (b ◦
˜
H ˜
M
)ψ appartient à C
∞
c,λ
( ˜
M (F )).
Le terme ϕ ⊗ dm dépend a priori des choix de mesures et du choix de la
fonction ˙
f . On vérifie facilement que changer de mesures ne modifie pas ϕ ⊗
dm. Changer de ˙
f revient à ajouter à cette fonction une combinaison linéaire
de fonctions ψ
c
− λ (c)ψ, où ψ ∈ C
∞
c ( ˜
G (F )) et c ∈ C (F ). Notre système de
fonctions ω ˜
P sur A ˜
M
vérifie par construction la condition 1.4(7) pour Z = C .
On voit par récurrence que l’application
c Sθ
˜
G
˜
M
vérifie la propriété 1.6(4). Il en
résulte qu’ajouter ψ
c
− λ (c)ψ à ˙
f revient à ajouter à ˙
ϕ une fonction de la forme
(ψ
)
c
− λ (c)ψ
. Un tel terme disparaît par intégration et ne change pas ϕ. Ainsi
le terme ϕ ⊗ dm est bien défini et on peut poser
c Sθ
˜
G
˜
M ,λ
(f ) = ϕ ⊗ dm.
Considérons d’autres données
1 → C → G → G → 1, ˜
G → ˜
G, λ
vérifiant les mêmes hypothèses. Introduisons le produit fibré G ,, de G et G audessus de G et le produit fibré ˜
G ,, de ˜
G et ˜
G au-dessus de ˜
G. Supposons donnés
un caractère λ ,, de G ,, (F ) dont la restriction à C (F ) × C (F ) est λ × λ
−1
et
une fonction non nulle ˜
λ ,, sur ˜
G ,, (F ) qui se transforme selon le caractère λ ,, .
On en déduit un isomorphisme
C
∞
c,λ
( ˜
G (F )) ⊗ Mes(G(F )) C
∞
c,, (G (F )) ⊗ Mes(G(F )),
cf. [II] 1.10, et de même un isomorphisme
SI ac,λ (M (F )) ⊗ Mes(M (F )) SI ac,λ (M (F )) ⊗ Mes(M (F )).
Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
la définition (1) que l’application
c Sθ
˜
G
˜
M
vérifie la relation 1.6(3) (la vérification
précise nécessite encore quelques considérations formelles que l’on passe). Il en
résulte que, pour tout γ ∈ ˜
M (F ), la fonction c → ˙
ϕ(cγ ) est à support compact.
On peut alors définir ϕ ∈ SI ac,λ (M (F )) par
ϕ(γ ) =
C (F )
˙
ϕ(cγ )λ (c) dc.
Remarque. L’espace SI ac,λ (M (F )) se déduit de C
∞
ac,λ
(M (F )). Ce dernier est
celui des fonctions ψ : M (F ) → C qui se transforment par C (F ) selon le caractère
λ , qui sont biinvariantes par un sous-groupe ouvert compact de M (F ) et qui
vérifient la condition suivante. Soit b une fonction à support compact sur ˜
A ˜
M,F .
Notons b sa composée avec la projection ˜
A ˜
M ,F → ˜
A ˜
M,F . Alors la fonction (b ◦
˜
H ˜
M
)ψ appartient à C
∞
c,λ
( ˜
M (F )).
Le terme ϕ ⊗ dm dépend a priori des choix de mesures et du choix de la
fonction ˙
f . On vérifie facilement que changer de mesures ne modifie pas ϕ ⊗
dm. Changer de ˙
f revient à ajouter à cette fonction une combinaison linéaire
de fonctions ψ
c
− λ (c)ψ, où ψ ∈ C
∞
c ( ˜
G (F )) et c ∈ C (F ). Notre système de
fonctions ω ˜
P sur A ˜
M
vérifie par construction la condition 1.4(7) pour Z = C .
On voit par récurrence que l’application
c Sθ
˜
G
˜
M
vérifie la propriété 1.6(4). Il en
résulte qu’ajouter ψ
c
− λ (c)ψ à ˙
f revient à ajouter à ˙
ϕ une fonction de la forme
(ψ
)
c
− λ (c)ψ
. Un tel terme disparaît par intégration et ne change pas ϕ. Ainsi
le terme ϕ ⊗ dm est bien défini et on peut poser
c Sθ
˜
G
˜
M ,λ
(f ) = ϕ ⊗ dm.
Considérons d’autres données
1 → C → G → G → 1, ˜
G → ˜
G, λ
vérifiant les mêmes hypothèses. Introduisons le produit fibré G ,, de G et G audessus de G et le produit fibré ˜
G ,, de ˜
G et ˜
G au-dessus de ˜
G. Supposons donnés
un caractère λ ,, de G ,, (F ) dont la restriction à C (F ) × C (F ) est λ × λ
−1
et
une fonction non nulle ˜
λ ,, sur ˜
G ,, (F ) qui se transforme selon le caractère λ ,, .
On en déduit un isomorphisme
C
∞
c,λ
( ˜
G (F )) ⊗ Mes(G(F )) C
∞
c,, (G (F )) ⊗ Mes(G(F )),
cf. [II] 1.10, et de même un isomorphisme
SI ac,λ (M (F )) ⊗ Mes(M (F )) SI ac,λ (M (F )) ⊗ Mes(M (F )).