VIII.2. Stabilisation de l’application
c θ ˜
M
957
VIII.2.2 Les applications
c Sθ
˜
G
˜
M
Pour la suite de la section, on suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure
et on fixe un espace de Levi ˜
M de ˜
G. Nous allons définir une application linéaire
c Sθ
˜
G
˜
M
: I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) → SI ac ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )).
Comme toujours, on doit admettre par récurrence certaines de ses propriétés.
Les premières sont formelles et permettent de définir des applications analogues
pour des données endoscopiques. On y revient ci-dessous. La seconde est que cette
application est stable, c’est-à-dire qu’elle se factorise en une application définie sur
SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). Notons p
st
˜
M
: I ac ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )) → SI ac ( ˜
M (F )) ⊗
Mes(M (F )) la projection naturelle. Pour f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on pose
(1)
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ) = p
st
˜
M
◦
c θ
˜
G
˜
M (f ) −
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,
s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))
c Sθ
G
(s)
M
(f
G
(s) ).
Enonçons la propriété évoquée ci-dessus.
Proposition. L’application
c Sθ
˜
G
˜
M
se quotiente en une application linéaire
SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) → SI ac ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )).
Cette proposition sera prouvée en 4.2.
Revenons sur les questions formelles. Considérons des extensions compatibles
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
où C est un tore induit et ˜
G est encore à torsion intérieure. Soit λ un caractère
de C (F ). On a une projection naturelle A ˜
M
→ A ˜
M et une identification P( ˜
M ) =
P( ˜
M ), notons-la ˜
P ↔ ˜
P . Pour ˜
P ∈ P ˜
M , on a une fonction ω ˜
P sur A ˜
M . Pour ˜
P ↔
˜
P , on choisit pour fonction ω ˜
P
la composée de cette fonction avec la projection
précédente. Fixons des mesures de Haar dc sur C (F ), dg sur G(F ) et dm sur
M (F ). Soient f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )) ⊗ Mes(G(F )). Ecrivons-la f = f ⊗ dg. Choisissons
une fonction ˙
f ∈ C
∞
c ( ˜
G (F )) telle que
f (γ ) =
C (F )
˙
f (cγ )λ (c) dc
pour tout γ ∈ ˜
G (F ). De dg et dc se déduit une mesure de Haar dg sur G (F ).
De même, de dm et dc se déduit une mesure de Haar dm sur M (F ). On définit
alors
c Sθ
˜
G
˜
M
( ˙
f ⊗ dg ). Ecrivons-la ˙
ϕ ⊗ dm avec ˙
ϕ ∈ SI ac ( ˜
M (F )). Cette fonction
n’est pas à support compact. Toutefois, on vérifie aisément par récurrence sur
c θ ˜
M
957
VIII.2.2 Les applications
c Sθ
˜
G
˜
M
Pour la suite de la section, on suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure
et on fixe un espace de Levi ˜
M de ˜
G. Nous allons définir une application linéaire
c Sθ
˜
G
˜
M
: I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) → SI ac ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )).
Comme toujours, on doit admettre par récurrence certaines de ses propriétés.
Les premières sont formelles et permettent de définir des applications analogues
pour des données endoscopiques. On y revient ci-dessous. La seconde est que cette
application est stable, c’est-à-dire qu’elle se factorise en une application définie sur
SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). Notons p
st
˜
M
: I ac ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )) → SI ac ( ˜
M (F )) ⊗
Mes(M (F )) la projection naturelle. Pour f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on pose
(1)
c Sθ
˜
G
˜
M
(f ) = p
st
˜
M
◦
c θ
˜
G
˜
M (f ) −
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,
s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))
c Sθ
G
(s)
M
(f
G
(s) ).
Enonçons la propriété évoquée ci-dessus.
Proposition. L’application
c Sθ
˜
G
˜
M
se quotiente en une application linéaire
SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) → SI ac ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )).
Cette proposition sera prouvée en 4.2.
Revenons sur les questions formelles. Considérons des extensions compatibles
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
où C est un tore induit et ˜
G est encore à torsion intérieure. Soit λ un caractère
de C (F ). On a une projection naturelle A ˜
M
→ A ˜
M et une identification P( ˜
M ) =
P( ˜
M ), notons-la ˜
P ↔ ˜
P . Pour ˜
P ∈ P ˜
M , on a une fonction ω ˜
P sur A ˜
M . Pour ˜
P ↔
˜
P , on choisit pour fonction ω ˜
P
la composée de cette fonction avec la projection
précédente. Fixons des mesures de Haar dc sur C (F ), dg sur G(F ) et dm sur
M (F ). Soient f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )) ⊗ Mes(G(F )). Ecrivons-la f = f ⊗ dg. Choisissons
une fonction ˙
f ∈ C
∞
c ( ˜
G (F )) telle que
f (γ ) =
C (F )
˙
f (cγ )λ (c) dc
pour tout γ ∈ ˜
G (F ). De dg et dc se déduit une mesure de Haar dg sur G (F ).
De même, de dm et dc se déduit une mesure de Haar dm sur M (F ). On définit
alors
c Sθ
˜
G
˜
M
( ˙
f ⊗ dg ). Ecrivons-la ˙
ϕ ⊗ dm avec ˙
ϕ ∈ SI ac ( ˜
M (F )). Cette fonction
n’est pas à support compact. Toutefois, on vérifie aisément par récurrence sur