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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
VIII.2 Stabilisation de l’application
c θ ˜
M
VIII.2.1 Fonctions ω ˜
S et endoscopie
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique elliptique et relevante de (G, ˜
G, a).
Introduisons les paires de Borel (B
∗ , T
∗ ) et (B
∗ , T
∗ ) de G et G
. Modulo certains
choix dans les groupes duaux, cf. [I] 1.5, on a un homomorphisme ξ : T
∗
→ T
∗ .
Il se restreint en un homomorphisme ξ : A ˜
G → A ˜
G qui est équivariant pour les
actions galoisiennes. L’hypothèse d’ellipticité signifie que cet homomorphisme est
un revêtement. Il s’en déduit un isomorphisme A ˜
G A ˜
G . On a
(1) il existe un unique isomorphisme ˜
ξ : ˜
A ˜
G ˜
A ˜
G tel que
(i) ˜
ξ(X + H) = ξ(X) + ˜
ξ(H) pour tout X ∈ A ˜
G et H ∈ ˜
A ˜
G ;
(ii) pour tout couple (δ, γ) formé d’un élément semi-simple δ ∈ ˜
G
(F ) et
d’un élément semi-simple γ ∈ ˜
G(F ) qui se correspondent (cf. [I] 1.10),
on ait l’égalité
˜
ξ( ˜
H ˜
G (γ)) = ˜
H ˜
G (δ).
La preuve est la même qu’en [IV] 2.1(1). Signalons qu’en général, les ensembles ˜
ξ( ˜
A ˜
G,F ) et ˜
A ˜
G ,F ne sont pas inclus l’un dans l’autre. Leur intersection
est toutefois non vide d’après (ii) ci-dessus. En prenant pour point-base un élément de cette intersection, ces ensembles s’identifient respectivement aux réseaux
ξ(A ˜
G,F ) et A ˜
G ,F . Ceux-ci ne sont pas non plus inclus l’un dans l’autre, mais sont
commensurables (leur intersection est d’indice finie dans chacun d’eux).
Dans la suite, on abandonne les notations ξ et ˜
ξ et on identifie simplement
A ˜
G à A ˜
G par ξ, ainsi que ˜
A ˜
G à ˜
A ˜
G par ˜
ξ.
Soit M
un Levi de G
. Supposons M
relevant. Il lui correspond donc un
espace de Levi ˜
M de ˜
G et M
se complète en une donnée endoscopique elliptique
M
= (M
, M
, ˜
s) de (M, ˜
M , a). On a comme ci-dessus des identifications compatibles A ˜
M A ˜
M et ˜
A ˜
M ˜
A ˜
M . Soit ˜
P
∈ P( ˜
M
). Des descriptions des ensembles
de racines de nos différents groupes résulte que la clôture de la chambre positive
A ˜
P est réunion de clôtures de chambres positives A ˜
P pour certains ˜
P ∈ P( ˜
M ).
Notons simplement ˜
P → ˜
P
pour signifier que ˜
P appartient à cet ensemble. On a
fixé des fonctions ω ˜
P . On définit la fonction ω ˜
P sur ˜
A ˜
M par
(2)
ω ˜
P =
˜
P ∈P( ˜
M ); ˜
P → ˜
P
ω ˜
P .
L’espace de Levi ˜
M n’est pas unique, il n’est bien défini qu’à conjugaison près, mais
les propriétés d’invariance imposées aux fonctions ω ˜
P entraînent que la définition
ci-dessus ne dépend pas du choix de ˜
M . Il est immédiat que l’ensemble de fonctions
ainsi définies vérifie les mêmes conditions qu’en 1.1.
Dans le cas où M
n’est pas relevant, on fixe sans référence à ˜
G des fonctions
ω ˜
P pour ˜
P
∈ P( ˜
M
) qui vérifient les conditions de 1.1.
Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
VIII.2 Stabilisation de l’application
c θ ˜
M
VIII.2.1 Fonctions ω ˜
S et endoscopie
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique elliptique et relevante de (G, ˜
G, a).
Introduisons les paires de Borel (B
∗ , T
∗ ) et (B
∗ , T
∗ ) de G et G
. Modulo certains
choix dans les groupes duaux, cf. [I] 1.5, on a un homomorphisme ξ : T
∗
→ T
∗ .
Il se restreint en un homomorphisme ξ : A ˜
G → A ˜
G qui est équivariant pour les
actions galoisiennes. L’hypothèse d’ellipticité signifie que cet homomorphisme est
un revêtement. Il s’en déduit un isomorphisme A ˜
G A ˜
G . On a
(1) il existe un unique isomorphisme ˜
ξ : ˜
A ˜
G ˜
A ˜
G tel que
(i) ˜
ξ(X + H) = ξ(X) + ˜
ξ(H) pour tout X ∈ A ˜
G et H ∈ ˜
A ˜
G ;
(ii) pour tout couple (δ, γ) formé d’un élément semi-simple δ ∈ ˜
G
(F ) et
d’un élément semi-simple γ ∈ ˜
G(F ) qui se correspondent (cf. [I] 1.10),
on ait l’égalité
˜
ξ( ˜
H ˜
G (γ)) = ˜
H ˜
G (δ).
La preuve est la même qu’en [IV] 2.1(1). Signalons qu’en général, les ensembles ˜
ξ( ˜
A ˜
G,F ) et ˜
A ˜
G ,F ne sont pas inclus l’un dans l’autre. Leur intersection
est toutefois non vide d’après (ii) ci-dessus. En prenant pour point-base un élément de cette intersection, ces ensembles s’identifient respectivement aux réseaux
ξ(A ˜
G,F ) et A ˜
G ,F . Ceux-ci ne sont pas non plus inclus l’un dans l’autre, mais sont
commensurables (leur intersection est d’indice finie dans chacun d’eux).
Dans la suite, on abandonne les notations ξ et ˜
ξ et on identifie simplement
A ˜
G à A ˜
G par ξ, ainsi que ˜
A ˜
G à ˜
A ˜
G par ˜
ξ.
Soit M
un Levi de G
. Supposons M
relevant. Il lui correspond donc un
espace de Levi ˜
M de ˜
G et M
se complète en une donnée endoscopique elliptique
M
= (M
, M
, ˜
s) de (M, ˜
M , a). On a comme ci-dessus des identifications compatibles A ˜
M A ˜
M et ˜
A ˜
M ˜
A ˜
M . Soit ˜
P
∈ P( ˜
M
). Des descriptions des ensembles
de racines de nos différents groupes résulte que la clôture de la chambre positive
A ˜
P est réunion de clôtures de chambres positives A ˜
P pour certains ˜
P ∈ P( ˜
M ).
Notons simplement ˜
P → ˜
P
pour signifier que ˜
P appartient à cet ensemble. On a
fixé des fonctions ω ˜
P . On définit la fonction ω ˜
P sur ˜
A ˜
M par
(2)
ω ˜
P =
˜
P ∈P( ˜
M ); ˜
P → ˜
P
ω ˜
P .
L’espace de Levi ˜
M n’est pas unique, il n’est bien défini qu’à conjugaison près, mais
les propriétés d’invariance imposées aux fonctions ω ˜
P entraînent que la définition
ci-dessus ne dépend pas du choix de ˜
M . Il est immédiat que l’ensemble de fonctions
ainsi définies vérifie les mêmes conditions qu’en 1.1.
Dans le cas où M
n’est pas relevant, on fixe sans référence à ˜
G des fonctions
ω ˜
P pour ˜
P
∈ P( ˜
M
) qui vérifient les conditions de 1.1.