VIII.1. L’application
c θ ˜
M
955
Elle vérifie les mêmes propriétés formelles que la distribution I
˜
G
˜
M
(γ, f ). En particulier, elle est ω-équivariante, c’est-à-dire se descend en une distribution sur
I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )). Elle est aussi compatible à l’induction, c’est-à-dire vérifie une propriété analogue au lemme [II] 1.7. Mais elle vérifie une propriété utile
que la distribution I
˜
G
˜
M
(γ, f ) ne vérifie pas. Pour tout sous-ensemble Ω de ˜
M (F ),
posons Ω
M = {m
−1 γm; m ∈ M (F ), γ ∈ Ω}. On a
(2) pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )), il existe un sous-ensemble compact
Ω ⊂ ˜
M (F ) tel que
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = 0 si le support de γ ne coupe pas Ω
M .
Preuve. On relève f en un élément de C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). La formule (1)
ramène par récurrence à prouver que le terme J
˜
G
˜
M
(γ, f ) vérifie la même propriété.
Notons Ω
le support de f . Il existe un sous-ensemble compact Ω de ˜
M (F ) tel que
Ω
M = (Ω
)
G
∩ ˜
M (F ). Il est clair que J
˜
G
˜
M
(γ, f ) = 0 si le support de γ ne coupe pas
Ω
M .
Le lien entre nos deux distributions ω-équivariantes est établi par la formule
suivante
(3)
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M )
I
˜
L
˜
M
(γ,
c θ
˜
G
˜
L (f )).
Preuve. Relevons f en un élément de C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) et appliquons cette
formule par récurrence au termes de la somme du membre de droite de la formule
(1). On obtient
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = J
˜
G
˜
M
(γ, f ) −
˜
L1∈L( ˜
M), ˜
L1 = ˜
G
˜
L2∈L( ˜
M), ˜
L2⊂ ˜
L1
I
˜
L2
˜
M
(γ,
c θ
˜
L1
˜
L2
(
c φ
˜
G
˜
L1
(f ))).
Renversons l’ordre de sommation. On obtient une somme sur ˜
L 2 ∈ L( ˜
M ) de la
distribution I
˜
L2
˜
M
(γ, .) appliquée à la fonction
˜
L1∈L( ˜
L2), ˜
L1 = ˜
G
c θ
˜
L1
˜
L2
(
c φ
˜
G
˜
L1
(f )).
Par définition de
c θ
˜
G
˜
L2
, cette fonction est égale à φ
˜
G
˜
L2
(f ) −
c θ
˜
G
˜
L2
(f ). En remplaçant
˜
L 2 simplement par ˜
L, on obtient alors l’égalité
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = J
˜
G
˜
M
(γ, f ) −
˜
L∈L( ˜
M )
I
˜
L
˜
M
(γ, φ
˜
G
˜
L
(f )) +
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
L
˜
M
(γ,
c θ
˜
G
˜
L (f )).
La somme des deux premières expressions est nulle par définition de la distribution
I
˜
G
˜
M
(γ, .). Donc
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) est égal à la dernière somme, ce qui est l’égalité (3).
c θ ˜
M
955
Elle vérifie les mêmes propriétés formelles que la distribution I
˜
G
˜
M
(γ, f ). En particulier, elle est ω-équivariante, c’est-à-dire se descend en une distribution sur
I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )). Elle est aussi compatible à l’induction, c’est-à-dire vérifie une propriété analogue au lemme [II] 1.7. Mais elle vérifie une propriété utile
que la distribution I
˜
G
˜
M
(γ, f ) ne vérifie pas. Pour tout sous-ensemble Ω de ˜
M (F ),
posons Ω
M = {m
−1 γm; m ∈ M (F ), γ ∈ Ω}. On a
(2) pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )), il existe un sous-ensemble compact
Ω ⊂ ˜
M (F ) tel que
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = 0 si le support de γ ne coupe pas Ω
M .
Preuve. On relève f en un élément de C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). La formule (1)
ramène par récurrence à prouver que le terme J
˜
G
˜
M
(γ, f ) vérifie la même propriété.
Notons Ω
le support de f . Il existe un sous-ensemble compact Ω de ˜
M (F ) tel que
Ω
M = (Ω
)
G
∩ ˜
M (F ). Il est clair que J
˜
G
˜
M
(γ, f ) = 0 si le support de γ ne coupe pas
Ω
M .
Le lien entre nos deux distributions ω-équivariantes est établi par la formule
suivante
(3)
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M )
I
˜
L
˜
M
(γ,
c θ
˜
G
˜
L (f )).
Preuve. Relevons f en un élément de C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) et appliquons cette
formule par récurrence au termes de la somme du membre de droite de la formule
(1). On obtient
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = J
˜
G
˜
M
(γ, f ) −
˜
L1∈L( ˜
M), ˜
L1 = ˜
G
˜
L2∈L( ˜
M), ˜
L2⊂ ˜
L1
I
˜
L2
˜
M
(γ,
c θ
˜
L1
˜
L2
(
c φ
˜
G
˜
L1
(f ))).
Renversons l’ordre de sommation. On obtient une somme sur ˜
L 2 ∈ L( ˜
M ) de la
distribution I
˜
L2
˜
M
(γ, .) appliquée à la fonction
˜
L1∈L( ˜
L2), ˜
L1 = ˜
G
c θ
˜
L1
˜
L2
(
c φ
˜
G
˜
L1
(f )).
Par définition de
c θ
˜
G
˜
L2
, cette fonction est égale à φ
˜
G
˜
L2
(f ) −
c θ
˜
G
˜
L2
(f ). En remplaçant
˜
L 2 simplement par ˜
L, on obtient alors l’égalité
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = J
˜
G
˜
M
(γ, f ) −
˜
L∈L( ˜
M )
I
˜
L
˜
M
(γ, φ
˜
G
˜
L
(f )) +
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
L
˜
M
(γ,
c θ
˜
G
˜
L (f )).
La somme des deux premières expressions est nulle par définition de la distribution
I
˜
G
˜
M
(γ, .). Donc
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) est égal à la dernière somme, ce qui est l’égalité (3).