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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
qui est simplement −I
˜
M (˜ π, X,
c φ
˜
G
˜
M (f )). Par définition de
c φ
˜
G
˜
M
(f ), on a
I
˜
M (˜ π ˜
λ ,
c φ
˜
G
˜
M (f )) =
c J
˜
G
˜
M (˜ π ˜
λ , f )
pour ˜
λ ∈ i ˜
A
∗
˜
M
/i ˜
A
∨
˜
M,F
. Parce que ˜
π est elliptique, ceci n’est autre que
Y ∈ ˜
A ˜
M ,F
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (Y )
ν ˜
S +iA ∗
˜
M ,F
J
˜
G
˜
M
(˜ π ˜
λ+˜ ν , f )e
−−˜ ν,Y dν.
Par inversion de Fourier, on en déduit
(5)
I
˜
M (˜ π, X,
c φ
˜
G
˜
M (f )) =
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)
ν ˜
S +iA ∗
˜
M,F
J
˜
G
˜
M
(˜ π ˜
ν , f )e
−−˜ ν,X dν.
En résumé, la somme sur les ˜
L = ˜
G des termes (4) est égale à l’opposé du membre
de droite de (5).
Ainsi qu’il résulte de la preuve de (1) et (2), on a l’égalité
I
˜
M (˜ π, ˜
λ, φ
˜
G
˜
M
(f )) = J
˜
G
˜
M
(˜ π ˜
λ , f )
pour tout ˜
λ ∈ A
∗
˜
M,C
/i ˜
A
∨
˜
M,F
. Il résulte alors des définitions que
I
˜
M (˜ π, ν ˜
S , X, φ
˜
G
˜
M
(f )) =
ν ˜
S +iA ∗
˜
M,F
J
˜
G
˜
M
(˜ π ˜
ν , f )e
−−˜ ν,X dν
pour tout ˜
S. Donc la somme (3) est égale au membre de droite de (5). La somme
de (3) et (4) est donc nulle. Cela achève la démonstration.
VIII.1.9 Une variante des intégrales orbitales
pondérées ω-équivariantes
Fixons un espace de Levi ˜
M . L’application
c φ
˜
G
˜
M
définie en 1.3 vérifie les mêmes
propriétés formelles que φ
˜
G
˜
M
. Dans beaucoup de constructions que l’on a faites,
on peut remplacer la deuxième application par la première. Ainsi, fixons pour un
moment un sous-groupe compact spécial K de G(F ) en bonne position relativement à M . Soit γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . On a défini en [II] 1.5 la
distribution
f → J
˜
G
˜
M
(γ, f )
sur C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). On définit une nouvelle distribution par la formule
(1)
c I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = J
˜
G
˜
M
(γ, f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
c I
˜
L
˜
M (γ,
c φ
˜
G
˜
L (f )).