VIII.1. L’application
c θ ˜
M
953
Proposition. Supposons ˜
M = ˜
G et ˜
π elliptique. Pour tout ˜
S ∈ P( ˜
M ), fixons un
point ν ˜
S comme en 1.3. Supposons ce point «assez positif» pour ˜
S, cette notion
dépendant de la représentation ˜
π. Alors on a l’égalité
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)I
˜
M (˜ π, ν ˜
S , X,
c θ
˜
G
˜
M (f )) = 0
pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) et tout X ∈ ˜
A ˜
M,F .
Preuve. On relève f en un élément de C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). On utilise la
définition 1.5(1). Il résulte de la preuve de (1) et (2) ci-dessus que
I
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c θ
˜
G
˜
M (f )) = I
˜
M (˜ π, ˜
λ, φ
˜
G
˜
M
(f )) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
I
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c θ
˜
L
˜
M (
c φ
˜
G
˜
L
(f ))).
On en déduit que la somme de l’énoncé est égale à la somme de
(3)
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)I
˜
M (˜ π, ν ˜
S , X, φ
˜
G
˜
M
(f ))
et, pour tout ˜
L ∈ P( ˜
M ) tel que ˜
L = ˜
G, de
(4)
−
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)I
˜
M (˜ π, ν ˜
S , X,
c θ
˜
L
˜
M (
c φ
˜
G
˜
L
(f ))).
Fixons ˜
L = ˜
G. Par un argument déjà utilisé plusieurs fois, pour ˜
S ∈ P( ˜
M ),
on peut remplacer le point ν ˜
S par ν ˜
S , où ˜
S
= ˜
S ∩ ˜
L. On peut ensuite, pour ˜
S
fixé, remplacer la somme des ω ˜
S (X) pour ˜
S ∩ ˜
L = ˜
S
par ω ˜
S (X). On obtient que
la somme (4) est égale à l’opposée de celle de l’énoncé où l’on remplace ˜
G par ˜
L
et f par
c φ
˜
G
˜
L
(f ). Dans l’énoncé figure l’hypothèse ˜
M = ˜
G. Si ˜
L = ˜
M , elle reste
vérifiée et, par récurrence, la somme (4) est nulle.
Considérons l’espace ˜
L = ˜
M . Dans ce cas
c θ
˜
M
˜
M
est l’identité. On a donc
I
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c θ
˜
M
˜
M (
c φ
˜
G
˜
M
(f ))) = I
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c φ
˜
G
˜
M (f )).
Or
c φ
˜
G
˜
M
(f ) est à support compact. Il en résulte que cette fonction n’a pas de pôle.
Ses coefficients de Fourier I
˜
M (˜ π, ν, X,
c φ
˜
G
˜
M
(f )) sont donc indépendants du point
ν. Ils sont égaux à
I
˜
M (˜ π, X,
c φ
˜
G
˜
M (f )) = I
˜
M (˜ π, 0, X,
c φ
˜
G
˜
M (f )) =
iA ∗
˜
M,F
I
˜
M (˜ π ˜
λ ,
c φ
˜
G
˜
M (f ))e
− ˜
λ,X dλ.
Dans la somme (4), on peut remplacer tous les points ν ˜
S par 0. Cette somme
devient
−I
˜
M (˜ π, X,
c φ
˜
G
˜
M (f ))
˜
S∈P( ˜
M )
ω ˜
S (X),
c θ ˜
M
953
Proposition. Supposons ˜
M = ˜
G et ˜
π elliptique. Pour tout ˜
S ∈ P( ˜
M ), fixons un
point ν ˜
S comme en 1.3. Supposons ce point «assez positif» pour ˜
S, cette notion
dépendant de la représentation ˜
π. Alors on a l’égalité
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)I
˜
M (˜ π, ν ˜
S , X,
c θ
˜
G
˜
M (f )) = 0
pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) et tout X ∈ ˜
A ˜
M,F .
Preuve. On relève f en un élément de C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). On utilise la
définition 1.5(1). Il résulte de la preuve de (1) et (2) ci-dessus que
I
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c θ
˜
G
˜
M (f )) = I
˜
M (˜ π, ˜
λ, φ
˜
G
˜
M
(f )) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
I
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c θ
˜
L
˜
M (
c φ
˜
G
˜
L
(f ))).
On en déduit que la somme de l’énoncé est égale à la somme de
(3)
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)I
˜
M (˜ π, ν ˜
S , X, φ
˜
G
˜
M
(f ))
et, pour tout ˜
L ∈ P( ˜
M ) tel que ˜
L = ˜
G, de
(4)
−
˜
S∈P( ˜
M)
ω ˜
S (X)I
˜
M (˜ π, ν ˜
S , X,
c θ
˜
L
˜
M (
c φ
˜
G
˜
L
(f ))).
Fixons ˜
L = ˜
G. Par un argument déjà utilisé plusieurs fois, pour ˜
S ∈ P( ˜
M ),
on peut remplacer le point ν ˜
S par ν ˜
S , où ˜
S
= ˜
S ∩ ˜
L. On peut ensuite, pour ˜
S
fixé, remplacer la somme des ω ˜
S (X) pour ˜
S ∩ ˜
L = ˜
S
par ω ˜
S (X). On obtient que
la somme (4) est égale à l’opposée de celle de l’énoncé où l’on remplace ˜
G par ˜
L
et f par
c φ
˜
G
˜
L
(f ). Dans l’énoncé figure l’hypothèse ˜
M = ˜
G. Si ˜
L = ˜
M , elle reste
vérifiée et, par récurrence, la somme (4) est nulle.
Considérons l’espace ˜
L = ˜
M . Dans ce cas
c θ
˜
M
˜
M
est l’identité. On a donc
I
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c θ
˜
M
˜
M (
c φ
˜
G
˜
M
(f ))) = I
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c φ
˜
G
˜
M (f )).
Or
c φ
˜
G
˜
M
(f ) est à support compact. Il en résulte que cette fonction n’a pas de pôle.
Ses coefficients de Fourier I
˜
M (˜ π, ν, X,
c φ
˜
G
˜
M
(f )) sont donc indépendants du point
ν. Ils sont égaux à
I
˜
M (˜ π, X,
c φ
˜
G
˜
M (f )) = I
˜
M (˜ π, 0, X,
c φ
˜
G
˜
M (f )) =
iA ∗
˜
M,F
I
˜
M (˜ π ˜
λ ,
c φ
˜
G
˜
M (f ))e
− ˜
λ,X dλ.
Dans la somme (4), on peut remplacer tous les points ν ˜
S par 0. Cette somme
devient
−I
˜
M (˜ π, X,
c φ
˜
G
˜
M (f ))
˜
S∈P( ˜
M )
ω ˜
S (X),