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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
un élément tel que cette fonction n’ait pas de pôle sur l’ensemble des éléments
˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
G,C
tels que Re(λ) = ν. Pour X ∈ ˜
A ˜
G,F , on pose
I
˜
G (˜ π, ν, X, ϕ) =
ν+iA ∗
˜
G,F
I
˜
G (˜ π, ˜
λ, ϕ)e
− ˜
λ,X dλ.
On a la formule d’inversion
I
˜
G (˜ π, ˜
λ, ϕ) =
X∈ ˜
A ˜
G,F
e ˜
λ,X I
˜
G (˜ π, ν, X, ϕ)
pour tout ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
G
/i ˜
A
∨
˜
G,F
tel que Re(λ) = ν.
Remarque. L’hypothèse sur ϕ n’implique nullement que le membre de droite de
(4) soit convergent pour ˜
λ ∈ i ˜
A
∗
˜
G
/i ˜
A
∨
˜
G,F
. Même s’il l’est, la fonction prolongée n’a
pas de raison d’être égale à ce membre de droite.
VIII.1.8 Une propriété d’annulation
On fixe un espace de Levi ˜
M . Soit f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )). On a
(1) la fonction
c θ
˜
G
˜
M
(f ) est de Schwartz ;
(2) soit ˜
π une ω-représentation tempérée de ˜
M (F ) ; la fonction
˜
λ → I
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c θ
˜
G
˜
M (f )) sur i ˜
A
∗
˜
M
/i ˜
A
∨
˜
M,F
est la restriction d’une fonction rationnelle sur ˜
A
∗
˜
M,C
/i ˜
A
∨
˜
M,F
; celle-ci a un
nombre fini d’hyperplans polaires d’équations e
λ, ˇ
α = c, pour α ∈ Σ(A ˜
M ).
Le signification de ces assertions a été expliquée en 1.2.
Preuve. Relevons f en un élément de C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). En utilisant la
définition 1.5(1), il suffit par récurrence de prouver que la fonction φ
˜
G
˜
M
(f ) vérifie
les mêmes propriétés. Or, soit ˜
π une ω-représentation tempérée de ˜
M (F ). Par
définition, la fonction X → I
˜
M (˜ π, X, φ
˜
G
˜
M
(f )) est la transformée de Fourier de la
fonction ˜
λ → J
˜
G
˜
M
(˜ π ˜
λ , f ) sur i ˜
A
∗
˜
M
/i ˜
A
∨
˜
M,F
. Celle-ci est C
∞ et se prolonge en une
fonction rationnelle sur ˜
A
∗
˜
M,C
/i ˜
A
∨
˜
M,F
dont les pôles ont la propriété indiquée en
(2). Cela prouve les assertions (1) et (2).
On utilise les définitions et notations de 1.7 pour la fonction ˜
λ → I
˜
M (˜ π, ˜
λ,
c θ
˜
G
˜
M
(f )).