VIII.1. L’application
c θ ˜
M
951
la fonction ˜
λ → I
˜
G (˜ π ˜
λ , ϕ) est bien définie pour tout ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
G,C
/i ˜
A
∨
˜
G,F
. C’est une
fonction polynomiale sur cet espace. Pour X ∈ ˜
A ˜
G,F , on définit le coefficient de
Fourier
I
˜
G (˜ π, X, ϕ) =
iA
∗
˜
G,F
I
˜
G (˜ π ˜
λ , ϕ)e
− ˜
λ,X dλ.
Comme en 1.2, le terme ˜
λ apparaissant dans l’intégrale est un relèvement quelconque de λ dans i ˜
A
∗
˜
G
. On a les égalités
(1)
I
˜
G (˜ π, X, ϕ) = I
˜
G (˜ π, (1 X ◦ ˜
H ˜
G )ϕ),
où 1 X est la fonction caractéristique de X dans ˜
A ˜
G,F et
(2)
I
˜
G (˜ π ˜
λ , ϕ) =
X∈ ˜
A ˜
G,F
e ˜
λ,X I
˜
G (˜ π, X, ϕ)
pour tout ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
G,C
/i ˜
A
∨
˜
G,F
. Cette somme ne contient qu’un nombre fini de termes
non nuls.
Pour une fonction ϕ ∈ I ac ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )), on ne peut plus en général
définir la fonction ˜
λ → I
˜
G (˜ π ˜
λ , ϕ). Par contre, pour X ∈ ˜
A ˜
G,F , on peut définir le
coefficient de Fourier I
˜
G (˜ π, X, ϕ), cf. [81] 6.4. Dans notre cas où le corps de base
est non-archimédien, il est défini par la formule (1) : le membre de droite de cette
formule a un sens puisque la fonction (1 X ◦ ˜
H ˜
G )ϕ est à support compact. Nous
dirons que ϕ est de Schwartz si, pour toute ω-représentation tempérée ˜
π de ˜
G(F ),
la fonction
(3)
X → I
˜
G (˜ π, X, ϕ)
est à décroissance rapide sur ˜
A ˜
G,F . Dans ce cas, on peut définir une fonction
˜
λ → I
˜
G (˜ π, ˜
λ, ϕ) sur i ˜
A
∗
˜
G
/i ˜
A
∨
˜
G,F
par la formule d’inversion de Fourier
(4)
I
˜
G (˜ π, ˜
λ, ϕ) =
X∈ ˜
A ˜
G,F
e ˜
λ,X I
˜
G (˜ π, X, ϕ).
C’est une fonction C
∞ de ˜
λ. Inversement, supposons que, pour tout ˜
π, il existe une
fonction C
∞ sur i ˜
A
∗
˜
G
/i ˜
A
∨
˜
G,F
vérifiant la condition 1.2(2) et dont la fonction (3)
soit la transformée de Fourier. Alors cette fonction (3) est à décroissance rapide,
donc ϕ est de Schwartz.
Pour une fonction de Schwartz ϕ, il arrive que la fonction (4) définie sur
i ˜
A
∗
˜
G
/i ˜
A
∨
˜
G,F
se prolonge en une fonction rationnelle sur ˜
A
∗
˜
G,C
/i ˜
A
∨
˜
G,F
. Supposons
qu’il en soit ainsi. On note encore ˜
λ → I
˜
G (˜ π, ˜
λ, ϕ) ce prolongement. Soit ν ∈ A
∗
˜
G
c θ ˜
M
951
la fonction ˜
λ → I
˜
G (˜ π ˜
λ , ϕ) est bien définie pour tout ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
G,C
/i ˜
A
∨
˜
G,F
. C’est une
fonction polynomiale sur cet espace. Pour X ∈ ˜
A ˜
G,F , on définit le coefficient de
Fourier
I
˜
G (˜ π, X, ϕ) =
iA
∗
˜
G,F
I
˜
G (˜ π ˜
λ , ϕ)e
− ˜
λ,X dλ.
Comme en 1.2, le terme ˜
λ apparaissant dans l’intégrale est un relèvement quelconque de λ dans i ˜
A
∗
˜
G
. On a les égalités
(1)
I
˜
G (˜ π, X, ϕ) = I
˜
G (˜ π, (1 X ◦ ˜
H ˜
G )ϕ),
où 1 X est la fonction caractéristique de X dans ˜
A ˜
G,F et
(2)
I
˜
G (˜ π ˜
λ , ϕ) =
X∈ ˜
A ˜
G,F
e ˜
λ,X I
˜
G (˜ π, X, ϕ)
pour tout ˜
λ ∈ ˜
A
∗
˜
G,C
/i ˜
A
∨
˜
G,F
. Cette somme ne contient qu’un nombre fini de termes
non nuls.
Pour une fonction ϕ ∈ I ac ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )), on ne peut plus en général
définir la fonction ˜
λ → I
˜
G (˜ π ˜
λ , ϕ). Par contre, pour X ∈ ˜
A ˜
G,F , on peut définir le
coefficient de Fourier I
˜
G (˜ π, X, ϕ), cf. [81] 6.4. Dans notre cas où le corps de base
est non-archimédien, il est défini par la formule (1) : le membre de droite de cette
formule a un sens puisque la fonction (1 X ◦ ˜
H ˜
G )ϕ est à support compact. Nous
dirons que ϕ est de Schwartz si, pour toute ω-représentation tempérée ˜
π de ˜
G(F ),
la fonction
(3)
X → I
˜
G (˜ π, X, ϕ)
est à décroissance rapide sur ˜
A ˜
G,F . Dans ce cas, on peut définir une fonction
˜
λ → I
˜
G (˜ π, ˜
λ, ϕ) sur i ˜
A
∗
˜
G
/i ˜
A
∨
˜
G,F
par la formule d’inversion de Fourier
(4)
I
˜
G (˜ π, ˜
λ, ϕ) =
X∈ ˜
A ˜
G,F
e ˜
λ,X I
˜
G (˜ π, X, ϕ).
C’est une fonction C
∞ de ˜
λ. Inversement, supposons que, pour tout ˜
π, il existe une
fonction C
∞ sur i ˜
A
∗
˜
G
/i ˜
A
∨
˜
G,F
vérifiant la condition 1.2(2) et dont la fonction (3)
soit la transformée de Fourier. Alors cette fonction (3) est à décroissance rapide,
donc ϕ est de Schwartz.
Pour une fonction de Schwartz ϕ, il arrive que la fonction (4) définie sur
i ˜
A
∗
˜
G
/i ˜
A
∨
˜
G,F
se prolonge en une fonction rationnelle sur ˜
A
∗
˜
G,C
/i ˜
A
∨
˜
G,F
. Supposons
qu’il en soit ainsi. On note encore ˜
λ → I
˜
G (˜ π, ˜
λ, ϕ) ce prolongement. Soit ν ∈ A
∗
˜
G