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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
L’unique élément ˜
L 1 de la somme est caractérisé par l’égalité
(8)
A
˜
G
˜
L1
= A
˜
G
˜
M
∩ A
˜
G
˜
L2
.
Supposons d
˜
G
˜
M ( ˜
M , ˜
L 3 ) = 0. Dans (7) apparaît un espace parabolique ˜
Q 3 . En
posant ˜
L = ˜
L 3 , cet espace de Levi intervient dans le membre de gauche de la
formule (6) et il lui est associé un espace parabolique ˜
Q. Montrons que
(9)
˜
Q 3 = ˜
Q.
D’après la construction rappelée ci-dessus, il suffit de prouver que ξ[ ˜
L] =
ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 )[ ˜
L 3 ]. On a
ξ[ ˜
L] ∈ ξ + A
˜
G
˜
M
= ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) + ξ
˜
L1 [ ˜
M ] + A
˜
G
˜
M
= ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) + A
˜
G
˜
M
puisque ξ
˜
L1 [ ˜
M ] ∈ A
˜
G
˜
M
. Les éléments ξ[ ˜
L] et ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) appartenant tous deux à
A
˜
G
˜
L2
, la relation précédente se renforce en
ξ[ ˜
L] ∈ ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) + A
˜
G
˜
M
∩ A
˜
G
˜
L2
,
ou encore, d’après (8), en
ξ[ ˜
L] ∈ ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) + A
˜
G
˜
L1
.
Alors ξ[ ˜
L] appartient à l’intersection de cet espace affine avec A
˜
G
˜
L3
. Or cette intersection est réduite au point ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 )[ ˜
L 3 ]. Cela prouve (9).
Modifions les notations en remplaçant ˜
L 3 par ˜
L et ˜
L 2 par ˜
L
. On obtient
Y ( ˜
L
, ˜
L) = d
˜
G
˜
M ( ˜
M, ˜
L)
c θ
˜
L
˜
M (
c φ
˜
L
˜
L (f ˜
Q,ω ))
puis
Y =
˜
L∈L( ˜
M )
d
˜
G
˜
M ( ˜
M , ˜
L)
˜
L ∈L
˜
L ( ˜
M )
c θ
˜
L
˜
M (
c φ
˜
L
˜
L (f ˜
Q,ω )).
Reportons cette relation dans la formule (6). Les termes indexés par ˜
L de chaque
côté de la formule sont égaux par définition des applications
c θ
˜
L
˜
M . On obtient
simplement X = 0. C’est ce qu’affirme l’énoncé.
VIII.1.7 Fonctions de Schwartz
Soit ˜
π une ω-représentation tempérée de ˜
G(F ). Pour une fonction
ϕ ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )),