VIII.1. L’application
c θ ˜
M
949
où
Y =
˜
L1∈L( ˜
M)
˜
L2∈L( ˜
M ), ˜
L2⊂ ˜
L1
d
˜
L1
˜
M ( ˜
M , ˜
L 2 )
˜
L3∈L( ˜
L2)
d
˜
G
˜
L2
( ˜
L 1 , ˜
L 3 )
c θ
˜
L2
˜
M (
c φ
˜
L3
˜
L2
(f ˜
Q3,ω )).
Revenons sur la définition des espaces ˜
Q et ˜
Q 3 qui interviennent ici. On fixe
un point ξ ∈ A
˜
G
˜
M en position générale. Soit ˜
L ∈ L( ˜
M
) tel que d ˜
M ( ˜
M , ˜
L) = 0.
On a alors la décomposition
A
˜
G
˜
M = A
˜
G
˜
M
⊕ A
˜
G
˜
L
.
Conformément à celle-ci, on projette ξ en un point ξ[ ˜
L] ∈ A
˜
G
˜
L
. L’espace parabolique ˜
Q est l’unique élément de P( ˜
L) tel que ξ[ ˜
L] appartienne à la chambre
positive associée à ˜
Q. De même, fixons ˜
L 1 ∈ L( ˜
M ), ˜
L 2 ∈ L( ˜
M
) avec ˜
L 2 ⊂ ˜
L 1
et d
˜
L1
˜
M ( ˜
M , ˜
L 2 ) = 0. Fixons un point ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) ∈ A
˜
G
˜
L2
en position générale. Soit
˜
L 3 ∈ L( ˜
L 2 ) tel que d
˜
G
˜
L2
( ˜
L 1 , ˜
L 3 ) = 0. On a alors la décomposition
A
˜
G
˜
L2
= A
˜
G
˜
L1
⊕ A
˜
G
˜
L3
.
Conformément à celle-ci, on projette ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) en un point ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 )[ ˜
L 3 ] ∈ A
˜
G
˜
L3
.
L’espace parabolique ˜
Q 3 est l’unique élément de P( ˜
L 3 ) tel que ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 )[ ˜
L 3 ] appartienne à la chambre positive associée à ˜
Q 3 . Le point ξ étant fixé, nous allons
choisir le point ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) de la façon suivante. On note comme toujours ξ ˜
L1 et ξ
˜
L1
les projections orthogonales sur A
˜
G
˜
L1
et A
˜
L1
˜
M . On a supposé d
˜
L1
˜
M ( ˜
M , ˜
L 2 ) = 0. On
a donc la décomposition
A
˜
L1
˜
M = A
˜
L1
˜
M
⊕ A
˜
L1
˜
L2
.
On peut décomposer conformément ξ
˜
L1 en ξ
˜
L1 [ ˜
M ] + ξ
˜
L1 [ ˜
L 2 ]. On choisit
ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) = ξ ˜
L1 + ξ
˜
L1 [ ˜
L 2 ] = ξ − ξ
˜
L1 [ ˜
M ].
On récrit la définition
Y =
˜
L3∈L( ˜
M )
˜
L2∈L
˜
L 3 ( ˜
M )
Y ( ˜
L 2 , ˜
L 3 ),
où
(7)
Y ( ˜
L 2 , ˜
L 3 ) =
˜
L1∈L( ˜
M), ˜
L2⊂ ˜
L1
d
˜
L1
˜
M ( ˜
M , ˜
L 2 )d
˜
G
˜
L2
( ˜
L 1 , ˜
L 3 )
c θ
˜
L2
˜
M (
c φ
˜
L3
˜
L2
(f ˜
Q3,ω )).
Fixons ˜
L 2 et ˜
L 3 . On a vu en [II] 1.7(5) que la somme ci-dessus en ˜
L 1 était vide si
d
˜
G
˜
M ( ˜
M , ˜
L 3 ) = 0. Si d
˜
G
˜
M ( ˜
M, ˜
L 3 ) = 0, la somme est réduite à un seul élément pour
lequel
d
˜
L1
˜
M ( ˜
M , ˜
L 2 )d
˜
G
˜
L2
( ˜
L 1 , ˜
L 3 ) = d
˜
G
˜
M ( ˜
M , ˜
L 3 ).
c θ ˜
M
949
où
Y =
˜
L1∈L( ˜
M)
˜
L2∈L( ˜
M ), ˜
L2⊂ ˜
L1
d
˜
L1
˜
M ( ˜
M , ˜
L 2 )
˜
L3∈L( ˜
L2)
d
˜
G
˜
L2
( ˜
L 1 , ˜
L 3 )
c θ
˜
L2
˜
M (
c φ
˜
L3
˜
L2
(f ˜
Q3,ω )).
Revenons sur la définition des espaces ˜
Q et ˜
Q 3 qui interviennent ici. On fixe
un point ξ ∈ A
˜
G
˜
M en position générale. Soit ˜
L ∈ L( ˜
M
) tel que d ˜
M ( ˜
M , ˜
L) = 0.
On a alors la décomposition
A
˜
G
˜
M = A
˜
G
˜
M
⊕ A
˜
G
˜
L
.
Conformément à celle-ci, on projette ξ en un point ξ[ ˜
L] ∈ A
˜
G
˜
L
. L’espace parabolique ˜
Q est l’unique élément de P( ˜
L) tel que ξ[ ˜
L] appartienne à la chambre
positive associée à ˜
Q. De même, fixons ˜
L 1 ∈ L( ˜
M ), ˜
L 2 ∈ L( ˜
M
) avec ˜
L 2 ⊂ ˜
L 1
et d
˜
L1
˜
M ( ˜
M , ˜
L 2 ) = 0. Fixons un point ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) ∈ A
˜
G
˜
L2
en position générale. Soit
˜
L 3 ∈ L( ˜
L 2 ) tel que d
˜
G
˜
L2
( ˜
L 1 , ˜
L 3 ) = 0. On a alors la décomposition
A
˜
G
˜
L2
= A
˜
G
˜
L1
⊕ A
˜
G
˜
L3
.
Conformément à celle-ci, on projette ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) en un point ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 )[ ˜
L 3 ] ∈ A
˜
G
˜
L3
.
L’espace parabolique ˜
Q 3 est l’unique élément de P( ˜
L 3 ) tel que ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 )[ ˜
L 3 ] appartienne à la chambre positive associée à ˜
Q 3 . Le point ξ étant fixé, nous allons
choisir le point ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) de la façon suivante. On note comme toujours ξ ˜
L1 et ξ
˜
L1
les projections orthogonales sur A
˜
G
˜
L1
et A
˜
L1
˜
M . On a supposé d
˜
L1
˜
M ( ˜
M , ˜
L 2 ) = 0. On
a donc la décomposition
A
˜
L1
˜
M = A
˜
L1
˜
M
⊕ A
˜
L1
˜
L2
.
On peut décomposer conformément ξ
˜
L1 en ξ
˜
L1 [ ˜
M ] + ξ
˜
L1 [ ˜
L 2 ]. On choisit
ξ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) = ξ ˜
L1 + ξ
˜
L1 [ ˜
L 2 ] = ξ − ξ
˜
L1 [ ˜
M ].
On récrit la définition
Y =
˜
L3∈L( ˜
M )
˜
L2∈L
˜
L 3 ( ˜
M )
Y ( ˜
L 2 , ˜
L 3 ),
où
(7)
Y ( ˜
L 2 , ˜
L 3 ) =
˜
L1∈L( ˜
M), ˜
L2⊂ ˜
L1
d
˜
L1
˜
M ( ˜
M , ˜
L 2 )d
˜
G
˜
L2
( ˜
L 1 , ˜
L 3 )
c θ
˜
L2
˜
M (
c φ
˜
L3
˜
L2
(f ˜
Q3,ω )).
Fixons ˜
L 2 et ˜
L 3 . On a vu en [II] 1.7(5) que la somme ci-dessus en ˜
L 1 était vide si
d
˜
G
˜
M ( ˜
M , ˜
L 3 ) = 0. Si d
˜
G
˜
M ( ˜
M, ˜
L 3 ) = 0, la somme est réduite à un seul élément pour
lequel
d
˜
L1
˜
M ( ˜
M , ˜
L 2 )d
˜
G
˜
L2
( ˜
L 1 , ˜
L 3 ) = d
˜
G
˜
M ( ˜
M , ˜
L 3 ).