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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
Soit b une fonction sur ˜
A ˜
G,F , à valeurs complexes. Pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F ))⊗
Mes(G(F )), on a l’égalité
(3)
c θ
˜
G
˜
M
(f (b ◦ ˜
H ˜
G )) = (
c θ
˜
G
˜
M
(f ))(b ◦ ˜
H ˜
G ).
Cela résulte par récurrence de 1.4(5) et de la relation similaire vérifiée par l’application φ
˜
G
˜
M
.
Soit Z un sous-groupe de Z(G)
θ . On a
(4) sous l’hypothèse 1.4(7), on a l’égalité
c θ
˜
G
˜
M
(f
z ) = (
c θ
˜
G
˜
M
(f ))
z pour tout z ∈
Z(F ) et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G).
Cela résulte par récurrence de 1.4(8) et de la relation similaire vérifiée par
l’application φ
˜
G
˜
M
(dans le cas de φ
˜
G
˜
M
, cette propriété est indépendante de l’hypothèse 1.4(7)).
Soit ˜
μ un «caractère affine» comme en 1.4(9). On a de même
(5)
c θ
˜
G
˜
M
(f ˜
μ) = ˜
μ
c θ
˜
G
˜
M
(f ) pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G).
Lemme. Soit ˜
M
un espace de Levi contenu dans ˜
M . Pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗
Mes(G(F )), on a l’égalité
(
c θ
˜
G
˜
M
(f )) ˜
M ,ω =
˜
L∈L( ˜
M )
d ˜
M ( ˜
M , ˜
L)
c θ
˜
L
˜
M (f ˜
L,ω ).
Preuve. On applique la formule de définition 1.5(1) et on lui applique l’application
«terme constant» relative à ˜
M
. On obtient l’égalité
(φ
˜
G
˜
M
(f )) ˜
M ,ω =
˜
L1∈L( ˜
M )
(
c θ
˜
L1
˜
M
(
c φ ˜
L1 (f ))) ˜
M ,ω .
Pour un terme de la somme indexé par ˜
L 1 = ˜
G, on peut utiliser par récurrence la
formule du présent énoncé. Pour le terme indexé par ˜
L 1 = ˜
G, on ne peut pas. Mais
on peut quand même, à condition d’ajouter la différence entre les deux membres
de cet énoncé. Précisément, posons
X = (
c θ
˜
G
˜
M
(f )) ˜
M ,ω −
˜
L∈L( ˜
M )
d ˜
M ( ˜
M , ˜
L)
c θ
˜
L
˜
M (f ˜
L,ω ).
On obtient alors
(φ
˜
G
˜
M
(f )) ˜
M ,ω = X +
˜
L1∈L( ˜
M)
˜
L2∈L( ˜
M ), ˜
L2⊂ ˜
L1
d
˜
L1
˜
M ( ˜
M , ˜
L 2 )
c θ
˜
L2
˜
M ((
c φ
˜
G
˜
L1
(f )) ˜
L2,ω ).
Utilisons la relation 1.4(1) et la relation analogue concernant l’application φ
˜
G
˜
M
. On
obtient
(6)
˜
L∈L( ˜
M )
d ˜
M ( ˜
M , ˜
L)φ
˜
L
˜
M (f ˜
Q,ω ) = X + Y,