VIII.1. L’application
c θ ˜
M
947
VIII.1.6 Propriétés de l’application
c θ
˜
G
˜
M
On a fixé un espace de Levi minimal ˜
M 0 et un sous-groupe compact spécial K de
G(F ) en bonne position relativement à M 0 . On a alors défini l’application
c θ
˜
G
˜
M
pour
un espace de Levi ˜
M contenant ˜
M 0 . L’espace ˜
M 0 étant fixé, on montre qu’elle ne
dépend pas de K. L’argument est que, quand on remplace K par un autre groupe
compact spécial K
en bonne position relativement à M 0 , les ingrédients basiques
J
˜
G
˜
M
(˜ σ, f ) de toutes nos distributions sont changés en d’autres qui se déduisent des
premiers par une formule de la même forme que 1.4(2). Un raisonnement similaire
à celui de la preuve de la proposition précédente permet alors de conclure. Nous
renvoyons pour plus de détails à [2] proposition 13.2. Cela étant, ajoutons pour un
instant l’espace ˜
M 0 dans la notation :
c θ
˜
G
˜
M, ˜
M0
au lieu de
c θ
˜
G
˜
M
. Par simple transport
de structure, on a une égalité
(1)
c θ
˜
G
˜
M, ˜
M0
(f ◦ ad y ) = (
c θ
˜
G
ady( ˜
M ),ady( ˜
M0) (f )) ◦ ad y
pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) et tout y ∈ G(F ). Pour y ∈ M (F ), grâce
à la proposition précédente, cette égalité devient
ω(y)
c θ
˜
G
˜
M, ˜
M0 (f ) = ω(y)
c θ
˜
G
˜
M,ady( ˜
M0) (f ).
Il en résulte que notre application
c θ
˜
G
˜
M, ˜
M0
ne change pas quand on remplace ˜
M 0
par ad y ( ˜
M 0 ). Puisque tous les espaces de Levi minimaux contenus dans ˜
M sont
conjugués par un élément de M (F ), cette application ne dépend pas de ˜
M 0 . Cet
espace peut de nouveau disparaître de la notation. D’autre part, l’application
c θ
˜
G
˜
M
peut être définie pour tout ˜
M puisque, un tel espace de Levi étant fixé, on peut
toujours choisir un ˜
M 0 minimal contenu dans ˜
M .
On fixe un espace de Levi ˜
M quelconque. Le groupe W ( ˜
M ) agit naturellement
sur I ac ( ˜
M (F ), ω). Rappelons la définition de cette action. Notons Norm G(F ) ( ˜
M )
le normalisateur de ˜
M dans G(F ). On définit une action de ce groupe sur l’espace
des fonctions sur ˜
M (F ) : à n ∈ Norm G(F ) ( ˜
M ) et à une fonction ϕ sur ˜
M (F ), on
associe la fonction nϕ sur ˜
M (F ) définie par (nϕ)(γ) = ω(n)ϕ(n
−1 γn). De cette
action se déduit une action de Norm G(F ) ( ˜
M ) sur I( ˜
M (F ), ω) et I ac ( ˜
M (F ), ω).
Sur ces espaces, l’action du sous-groupe M (F ) ⊂ Norm G(F ) ( ˜
M ) est triviale et
l’action se quotiente en une action du quotient W ( ˜
M ). Par tensorisation avec
l’action triviale de ce groupe sur Mes(M (F )), on obtient une action de W ( ˜
M ) sur
I ac ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )). On peut appliquer (1) à un élément y qui normalise
˜
M . On obtient le résultat suivant
(2)
c θ
˜
G
˜
M
prend ses valeurs dans le sous-espace des éléments de I ac ( ˜
M (F ), ω) ⊗
Mes(M (F )) qui sont invariants par W ( ˜
M ).
c θ ˜
M
947
VIII.1.6 Propriétés de l’application
c θ
˜
G
˜
M
On a fixé un espace de Levi minimal ˜
M 0 et un sous-groupe compact spécial K de
G(F ) en bonne position relativement à M 0 . On a alors défini l’application
c θ
˜
G
˜
M
pour
un espace de Levi ˜
M contenant ˜
M 0 . L’espace ˜
M 0 étant fixé, on montre qu’elle ne
dépend pas de K. L’argument est que, quand on remplace K par un autre groupe
compact spécial K
en bonne position relativement à M 0 , les ingrédients basiques
J
˜
G
˜
M
(˜ σ, f ) de toutes nos distributions sont changés en d’autres qui se déduisent des
premiers par une formule de la même forme que 1.4(2). Un raisonnement similaire
à celui de la preuve de la proposition précédente permet alors de conclure. Nous
renvoyons pour plus de détails à [2] proposition 13.2. Cela étant, ajoutons pour un
instant l’espace ˜
M 0 dans la notation :
c θ
˜
G
˜
M, ˜
M0
au lieu de
c θ
˜
G
˜
M
. Par simple transport
de structure, on a une égalité
(1)
c θ
˜
G
˜
M, ˜
M0
(f ◦ ad y ) = (
c θ
˜
G
ady( ˜
M ),ady( ˜
M0) (f )) ◦ ad y
pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) et tout y ∈ G(F ). Pour y ∈ M (F ), grâce
à la proposition précédente, cette égalité devient
ω(y)
c θ
˜
G
˜
M, ˜
M0 (f ) = ω(y)
c θ
˜
G
˜
M,ady( ˜
M0) (f ).
Il en résulte que notre application
c θ
˜
G
˜
M, ˜
M0
ne change pas quand on remplace ˜
M 0
par ad y ( ˜
M 0 ). Puisque tous les espaces de Levi minimaux contenus dans ˜
M sont
conjugués par un élément de M (F ), cette application ne dépend pas de ˜
M 0 . Cet
espace peut de nouveau disparaître de la notation. D’autre part, l’application
c θ
˜
G
˜
M
peut être définie pour tout ˜
M puisque, un tel espace de Levi étant fixé, on peut
toujours choisir un ˜
M 0 minimal contenu dans ˜
M .
On fixe un espace de Levi ˜
M quelconque. Le groupe W ( ˜
M ) agit naturellement
sur I ac ( ˜
M (F ), ω). Rappelons la définition de cette action. Notons Norm G(F ) ( ˜
M )
le normalisateur de ˜
M dans G(F ). On définit une action de ce groupe sur l’espace
des fonctions sur ˜
M (F ) : à n ∈ Norm G(F ) ( ˜
M ) et à une fonction ϕ sur ˜
M (F ), on
associe la fonction nϕ sur ˜
M (F ) définie par (nϕ)(γ) = ω(n)ϕ(n
−1 γn). De cette
action se déduit une action de Norm G(F ) ( ˜
M ) sur I( ˜
M (F ), ω) et I ac ( ˜
M (F ), ω).
Sur ces espaces, l’action du sous-groupe M (F ) ⊂ Norm G(F ) ( ˜
M ) est triviale et
l’action se quotiente en une action du quotient W ( ˜
M ). Par tensorisation avec
l’action triviale de ce groupe sur Mes(M (F )), on obtient une action de W ( ˜
M ) sur
I ac ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )). On peut appliquer (1) à un élément y qui normalise
˜
M . On obtient le résultat suivant
(2)
c θ
˜
G
˜
M
prend ses valeurs dans le sous-espace des éléments de I ac ( ˜
M (F ), ω) ⊗
Mes(M (F )) qui sont invariants par W ( ˜
M ).