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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
linéaire définie sur I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )). On peut alors poser par récurrence
la définition
(1)
c θ
˜
G
˜
M
(f ) = φ
˜
G
˜
M
(f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
c θ
˜
L
˜
M (
c φ
˜
G
˜
L (f ))
pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). Le terme φ
˜
G
˜
M
(f ) est celui défini en [81] 6.4.
Prouvons la propriété d’équivariance.
Proposition. L’application
c θ
˜
G
˜
M
se quotiente en une application linéaire définie sur
I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )).
Preuve. On doit prouver que, pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) et tout
y ∈ G(F ), on a l’égalité
ω(y)
−1c θ
˜
G
˜
M (f ◦ ad y ) =
c θ
˜
G
˜
M (f ).
On utilise la relation 1.4(2). On sait que l’application φ
˜
G
˜
M
vérifie la même relation.
D’après la définition (1), on obtient
ω(y)
−1c θ
˜
G
˜
M (f ◦ ad y ) =
˜
Q = ˜
L U Q ∈F ( ˜
M)
φ
˜
L
˜
M
(f ˜
Q ,y )
−
˜
L∈L( ˜
M),
˜
L = ˜
G
˜
Q = ˜
L U Q ∈F ( ˜
L)
c θ
˜
L
˜
M (
c φ
˜
L
˜
L (f ˜
Q ,y ))
=
˜
Q
= ˜
L
U Q ∈F ( ˜
M),
˜
Q
= ˜
G
⎛
⎝ φ
˜
L
˜
M
(f ˜
Q ,y ) −
˜
L∈L
˜
L ( ˜
M )
c θ
˜
L
˜
M (
c φ
˜
L
˜
L (f ˜
Q ,y ))
⎞
⎠
+ φ
˜
G
˜
M
(f ˜
G,y ) −
˜
L∈L
˜
G ( ˜
M ),
˜
L = ˜
G
c θ
˜
L
˜
M (
c φ
˜
G
˜
L (f ˜
G,y )).
La première somme est nulle d’après la définition (1) appliquée avec ˜
G remplacé
par ˜
L
. Comme on l’a dit, on a f ˜
G,y = f et la deuxième somme est égale à
c θ
˜
G
˜
M
(f ).
Cela conclut.
On montre facilement que l’application
c θ
˜
G
˜
M
se prolonge en une application
définie sur C
∞
ac ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), qui se quotiente en une application définie
sur I ac ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )). Nous laissons ce point au lecteur.