VIII.1. L’application
c θ ˜
M
945
On a
J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f
z
= μ(z)
−1 e
−−λ,H J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f
,
où H = H ˜
G (z). D’où
ν ˜
S +iA ∗
˜
R,F
J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f
z
e
− ˜
λ,X dλ
= μ(z)
−1
ν ˜
S +iA ∗
˜
R,F
J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f
e
− ˜
λ,X+H dλ.
En changeant X en X − H, on obtient
I
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π),
c φ
˜
G
˜
M (f
z )
= μ(z)
−1
X∈ ˜
A ˜
R,F
˜
S∈P
˜
G ( ˜
R)
ω ˜
S (X − H)
𚵿
ν ˜
S +iA ∗
˜
R,F
J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R (˜ π ˜
λ ), f
e
− ˜
λ,X dλ.
L’hypothèse (7) nous permet de faire disparaître H de cette formule et on obtient
I
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π),
c φ
˜
G
˜
M (f
z )
= μ(z)
−1c J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f
.
Cela prouve l’égalité souhaitée.
Soit μ un caractère de G(F ) invariant par θ (c’est-à-dire μ ◦ ad γ = μ pour
tout γ ∈ ˜
G(F )). Soit ˜
μ une fonction non nulle sur ˜
G(F ) telle que ˜
μ(xγ) = μ(x)˜ μ(γ)
pour tous x ∈ G(F ) et γ ∈ ˜
G(F ). On a
(9)
c φ ˜
M (f ˜
μ) = ˜
μ
c φ ˜
M (f ).
Preuve. Soient ˜
R et ˜
π comme dans la preuve précédente. Le produit ˜
π ˜
μ est encore
une ω-représentation elliptique de ˜
R(F ). On vérifie aisément que
I
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π),
c φ ˜
M (f ˜
μ)
= I
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
μ),
c φ ˜
M (f )
= I
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), ˜
μ
c φ ˜
M (f )
.
D’où (9).
VIII.1.5 Définition de l’application
c θ ˜
M
Soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ). Nous allons définir une application linéaire
c θ
˜
G
˜
M
: C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) → I ac ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F )).
Comme toujours, on a besoin d’en connaître une propriété par récurrence. A savoir qu’elle est ω-équivariante, c’est-à-dire qu’elle se quotiente en une application