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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
Preuve. Un élément f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) s’écrit de façon unique f =
Y ∈ ˜
A ˜
G,F
f Y , où f Y est supportée par l’ensemble des γ ∈ ˜
G(F ) tels que ˜
H ˜
G (γ) =
Y . La seule définition de
c φ ˜
M (f ) qui soit compatible avec (5) est
c φ ˜
M (f ) =
Y ∈ ˜
A ˜
G,F
c φ ˜
M (f Y ).
Justement, (5) assure la convergence de cette expression. Pour que la somme appartienne à I ac ( ˜
M (F ), ω)⊗ Mes(M (F )), il faut prouver qu’il existe un sous-groupe
ouvert compact de M (F ) tel que, pour tout Y ,
c φ ˜
M (f Y ) soit l’image d’un élément
de C
∞
c ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )) qui soit biinvariant par le sous-groupe en question.
On a vu dans la preuve de la proposition 1.3 que, pour tout Y , il y avait un sousgroupe ouvert compact de M (F ) tel que
c φ ˜
M (f Y ) soit l’image d’un élément de
C
∞
c ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )) qui soit biinvariant par ce sous-groupe. Cette preuve
fournit plus : ce sous-groupe ne dépend que d’un sous-groupe ouvert compact de
G(F ) tel que f Y soit elle-même invariante par ce sous-groupe. Par définition de
C
∞
ac ( ˜
G(F )), on peut choisir ce dernier sous-groupe indépendant de Y . Le sousgroupe de M (F ) qu’on en déduit est donc lui-aussi indépendant de Y .
Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) et z ∈ Z(G; F )
θ , on note f
z la fonction γ → f (zγ).
Pour f = f ⊗ dg ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on pose f
z = f
z
⊗ dg. Soit Z un
sous-groupe de Z(G)
θ . Notons Z l’image dans A ˜
G,F de Z(F ) par l’application
H ˜
G . Supposons
(7) pour tout espace parabolique ˜
S = ˜
LU S de ˜
G, tout X ∈ ˜
A ˜
L et tout H ∈ Z,
on a l’égalité ω ˜
S (X + H) = ω ˜
S (X).
Montrons que
(8) sous l’hypothèse (7), on a l’égalité
c φ
˜
G
˜
M
(f
z ) = (
c φ
˜
G
˜
M
(f ))
z pour tout z ∈ Z(F )
et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )).
Preuve. Soient ˜
R un espace de Levi contenu dans ˜
M et ˜
π une ω-représentation
elliptique de ˜
R(F ). On doit prouver que la distribution I
˜
M (Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), .) prend la
même valeur sur les deux membres de l’égalité à démontrer. Notons μ le caractère
central de π (rappelons que π n’est pas irréductible en général, mais toutes ses
composantes irréductibles ont même caractère central). On a immédiatement
I
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), (
c φ
˜
G
˜
M
(f ))
z
= μ(z)
−1 I
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π),
c φ
˜
G
˜
M (f )
= μ(z)
−1c J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f )
.
On a aussi
I
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π),
c φ
˜
G
˜
M (f
z )
=
c J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f
z
=
X∈ ˜
A ˜
R,F
˜
S∈P
˜
G ( ˜
R)
ω ˜
S (X)
ν ˜
S +iA ∗
˜
R,F
J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f
z
e
− ˜
λ,X dλ.