VIII.1. L’application
c θ ˜
M
943
d’une intégrale ne dépendant que de ˜
S
et de la somme
˜
S; ˜
S∩ ˜
L= ˜
S
ω ˜
S (X).
D’après 1.1(5), ceci n’est autre que ω ˜
S (X). Alors le membre de droite de (4)
devient celui de (3). Cela achève la preuve.
Soit b une fonction sur ˜
A ˜
G,F , à valeurs complexes. Pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F ))⊗
Mes(G(F )), on a
(5)
c φ ˜
M (f (b ◦ ˜
H ˜
G )) = (
c φ ˜
M (f ))(b ◦ ˜
H ˜
G ).
Preuve. Il revient au même de dire que, pour Y ∈ ˜
A ˜
G,F , si f est supportée par
l’ensemble des γ ∈ ˜
G(F ) tels que ˜
H ˜
G (γ) = Y , alors
c φ ˜
M (f ) est supportée par
l’ensemble des γ ∈ ˜
M (F ) tels que ˜
H ˜
G (γ) = Y . Fixons donc Y et une fonction
f vérifiant la condition de support ci-dessus. Par transformation de Fourier, la
conclusion espérée équivaut à ce que, pour toute ω-représentation tempérée ˜
σ de
˜
M (F ) et tout ˜
μ ∈ i ˜
A
∗
˜
G
, on a l’égalité
I
˜
M (˜ σ ˜
μ ,
c φ ˜
M (f )) = e
˜ μ,Y I
˜
M (˜ σ,
c φ ˜
M (f )).
On peut supposer que ˜
σ = Ind
˜
M
˜
R
, où ˜
R ∈ L
˜
M ( ˜
M 0 ) et ˜
π est une ω-représentation
elliptique de ˜
R(F ). On doit alors prouver que
c J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
μ ), f
= e
˜ μ,Y c J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f
.
Il suffit pour cela d’utiliser la définition 1.3(1) et la relation facile
J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R (˜ π ˜
λ+˜ μ ), f
= e
˜ μ,Y J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R (˜ π ˜
λ ), f
,
qui résulte de l’hypothèse sur le support de f .
On a défini en [II] 1.6 l’espace C
∞
ac ( ˜
G(F )) des fonctions f : ˜
G(F ) → C qui
sont biinvariantes par un sous-groupe ouvert compact de G(F ) et qui vérifient
f (b ◦ ˜
H ˜
G ) ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) pour tout b ∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
G,F ) (ce dernier espace n’est autre
que l’espace des fonctions sur ˜
A ˜
G,F à support fini). On a aussi défini l’espace
I ac ( ˜
G(F ), ω). C’est le quotient de C
∞
ac ( ˜
G(F )) par le sous-espace des éléments dont
toutes les intégrales orbitales sont nulles. On a
(6) l’application
c φ ˜
M s’étend de façon unique en une application linéaire
C
∞
ac ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) → I ac ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
qui vérifie encore (5).
c θ ˜
M
943
d’une intégrale ne dépendant que de ˜
S
et de la somme
˜
S; ˜
S∩ ˜
L= ˜
S
ω ˜
S (X).
D’après 1.1(5), ceci n’est autre que ω ˜
S (X). Alors le membre de droite de (4)
devient celui de (3). Cela achève la preuve.
Soit b une fonction sur ˜
A ˜
G,F , à valeurs complexes. Pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F ))⊗
Mes(G(F )), on a
(5)
c φ ˜
M (f (b ◦ ˜
H ˜
G )) = (
c φ ˜
M (f ))(b ◦ ˜
H ˜
G ).
Preuve. Il revient au même de dire que, pour Y ∈ ˜
A ˜
G,F , si f est supportée par
l’ensemble des γ ∈ ˜
G(F ) tels que ˜
H ˜
G (γ) = Y , alors
c φ ˜
M (f ) est supportée par
l’ensemble des γ ∈ ˜
M (F ) tels que ˜
H ˜
G (γ) = Y . Fixons donc Y et une fonction
f vérifiant la condition de support ci-dessus. Par transformation de Fourier, la
conclusion espérée équivaut à ce que, pour toute ω-représentation tempérée ˜
σ de
˜
M (F ) et tout ˜
μ ∈ i ˜
A
∗
˜
G
, on a l’égalité
I
˜
M (˜ σ ˜
μ ,
c φ ˜
M (f )) = e
˜ μ,Y I
˜
M (˜ σ,
c φ ˜
M (f )).
On peut supposer que ˜
σ = Ind
˜
M
˜
R
, où ˜
R ∈ L
˜
M ( ˜
M 0 ) et ˜
π est une ω-représentation
elliptique de ˜
R(F ). On doit alors prouver que
c J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
μ ), f
= e
˜ μ,Y c J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f
.
Il suffit pour cela d’utiliser la définition 1.3(1) et la relation facile
J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R (˜ π ˜
λ+˜ μ ), f
= e
˜ μ,Y J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R (˜ π ˜
λ ), f
,
qui résulte de l’hypothèse sur le support de f .
On a défini en [II] 1.6 l’espace C
∞
ac ( ˜
G(F )) des fonctions f : ˜
G(F ) → C qui
sont biinvariantes par un sous-groupe ouvert compact de G(F ) et qui vérifient
f (b ◦ ˜
H ˜
G ) ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) pour tout b ∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
G,F ) (ce dernier espace n’est autre
que l’espace des fonctions sur ˜
A ˜
G,F à support fini). On a aussi défini l’espace
I ac ( ˜
G(F ), ω). C’est le quotient de C
∞
ac ( ˜
G(F )) par le sous-espace des éléments dont
toutes les intégrales orbitales sont nulles. On a
(6) l’application
c φ ˜
M s’étend de façon unique en une application linéaire
C
∞
ac ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) → I ac ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
qui vérifie encore (5).