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Chapitre VIII. L’application ˜
M , cas non-archimédien
Preuve. Soit ˜
R ∈ P( ˜
M 0 ) avec ˜
R ⊂ ˜
M
et soit ˜
π une ω-représentation elliptique de
˜
R(F ). On doit prouver que la distribution I
˜
M
(Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), .) prend la même valeur
sur les deux membres de (1). Par définition de l’induction, on a
I
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), (
c φ
˜
G
˜
M
(f )) ˜
M ,ω
= I
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π),
c φ
˜
G
˜
M (f )
=
c J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f
.
C’est le membre de gauche de 1.3(2).
On voit aussi que la valeur de I
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), .
sur le membre de droite de
(1) est le membre de droite de 1.3(2). Cette égalité 1.3(2) conclut.
Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), y ∈ G(F ) et ˜
Q = ˜
LU Q ∈ F( ˜
M 0 ), Arthur
définit en [2] paragraphe 3 une fonction f ˜
Q,y ∈ C
∞
c ( ˜
L(F ))⊗Mes(L(F )) (il convient
de glisser dans la définition notre caractère ω). Pour ˜
Q = ˜
G, on a simplement
f ˜
Q,y = f . On a
(2)
ω(y)
−1c φ
˜
G
˜
M (f ◦ ad y ) =
˜
Q= ˜
LUQ∈F ( ˜
M)
c φ
˜
L
˜
M (f ˜
Q,y ).
Preuve. Soit ˜
R ∈ P( ˜
M 0 ) avec ˜
R ⊂ ˜
M et soit ˜
π une ω-représentation elliptique de
˜
R(F ). On doit prouver que la distribution I
˜
M (Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), .) prend la même valeur
sur les deux membres de (1). Il revient au même de prouver que
(3)
ω(y)
−1c J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f ◦ ad y
=
˜
Q= ˜
LUQ∈F ( ˜
M)
c J
˜
L
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f ˜
Q,y
.
Le membre de gauche est défini par 1.3(1) où l’on remplace f par f ◦ad y . On utilise
la formule
ω(y)
−1 J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f ◦ ad y
=
˜
Q= ˜
LUQ∈F ( ˜
M)
J
˜
L
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f ˜
Q,y
,
cf. [10] lemme 6.2. On obtient
ω(y)
−1c J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f ◦ ad y
=
˜
Q= ˜
LUQ∈F ( ˜
M)
X∈ ˜
A ˜
R,F
˜
S∈P
˜
G ( ˜
R)
ω ˜
S (X)
(4)
ν ˜
S +iA ∗
˜
R,F
J
˜
L
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f ˜
Q,y
e
− ˜
λ,X dλ.
Fixons ˜
L. Pour la même raison que dans la preuve de 1.3(2), on peut remplacer un
point ν ˜
S par ν ˜
S , où ˜
S
= ˜
S ∩ ˜
L. La somme en ˜
S devient une somme en ˜
S
∈ P
˜
L ( ˜
R)