VIII.1. L’application
c θ ˜
M
941
a qu’un nombre fini de X vérifiant les conditions précédentes et ne vérifiant pas
cette inégalité. Cela démontre que la somme en X est finie.
On doit prouver que la somme (1) ne dépend que de Ind
˜
M
˜
R
(˜ π). C’est-à-dire,
fixons x ∈ M (F ) tel que ad x ( ˜
R) ∈ L( ˜
M 0 ). On doit voir que le membre de droite
de (1) ne change pas si l’on remplace ˜
R par ad x ( ˜
R) et ˜
π par ˜
π ◦ ad
−1
x . On vérifie
immédiatement qu’un terme indexé par X et ˜
S de la formule (1) est égal au terme
de la nouvelle formule indexé par ad x (X) et ad x ( ˜
S).
Pour démontrer (ii), on utilise le théorème de Paley–Wiener ([42] théorème
3.3, repris en [81] théorème 6.1). On doit d’abord prouver une propriété de finitude.
A savoir que, pour tout ˜
R, il existe un ensemble fini Ξ de ω-représentations elliptiques de ˜
R(F ) tel que, si ˜
π vérifie
c J
˜
G
˜
M
(Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f) = 0, alors il existe ˜
λ ∈ i ˜
A
∗
˜
R
de
sorte que ˜
π ˜
λ ∈ Ξ. Puisque f est biinvariante par un sous-groupe ouvert compact de
G(F ), il existe aussi un sous-groupe ouvert compact de R(F ) tel que la non-nullité
de
c J
˜
G
˜
M
(Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f) entraîne que π admet des invariants non nuls par ce compact.
Or, à torsion près par i ˜
A
∗
˜
R
, il n’existe qu’un nombre fini de ω-représentations elliptiques de ˜
R(F ) vérifiant cette propriété. D’où la finitude requise. Fixons ˜
R et
˜
π. Fixons aussi un scindage A
∗
˜
R
→ ˜
A
∗
˜
R
. On doit montrer que la fonction
μ →
c J
˜
G
˜
M (Ind
˜
M
˜
R
(˜ π μ ), f)
est de Paley–Wiener sur iA
∗
˜
R,F
. Par un changement de variables, on a
c J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π μ ), f
=
X∈ ˜
A ˜
R,F
˜
S∈P
˜
G ( ˜
R)
ω ˜
S (X)e
μ,X
ν ˜
S +iA ∗
˜
R,F
J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f
e
− ˜
λ,X dλ.
Le raisonnement fait ci-dessus montre que la somme en X est finie indépendamment de μ. Donc, comme fonction de μ, l’expression ci-dessus est une somme
finie de termes e
μ,X . C’est donc une fonction de Paley–Wiener. Cela achève la
démonstration.
VIII.1.4 Propriétés de l’application
c φ ˜
M
On fixe ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ). Conformément à nos habitudes, on ajoute un exposant ˜
G si
besoin est pour indiquer l’espace ambiant :
c φ
˜
G
˜
M
au lieu de
c φ ˜
M .
Soit ˜
M
∈ L( ˜
M 0 ), supposons ˜
M
⊂ ˜
M . Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )),
on a
(1)
c φ
˜
G
˜
M
(f )
˜
M ,ω
=
˜
L∈L( ˜
M )
d
˜
G
˜
M ( ˜
M , ˜
L)
c φ
˜
L
˜
M (f ˜
Q,ω ),
où ˜
Q ∈ P( ˜
L) est déterminé par le choix d’un paramètre auxiliaire.
c θ ˜
M
941
a qu’un nombre fini de X vérifiant les conditions précédentes et ne vérifiant pas
cette inégalité. Cela démontre que la somme en X est finie.
On doit prouver que la somme (1) ne dépend que de Ind
˜
M
˜
R
(˜ π). C’est-à-dire,
fixons x ∈ M (F ) tel que ad x ( ˜
R) ∈ L( ˜
M 0 ). On doit voir que le membre de droite
de (1) ne change pas si l’on remplace ˜
R par ad x ( ˜
R) et ˜
π par ˜
π ◦ ad
−1
x . On vérifie
immédiatement qu’un terme indexé par X et ˜
S de la formule (1) est égal au terme
de la nouvelle formule indexé par ad x (X) et ad x ( ˜
S).
Pour démontrer (ii), on utilise le théorème de Paley–Wiener ([42] théorème
3.3, repris en [81] théorème 6.1). On doit d’abord prouver une propriété de finitude.
A savoir que, pour tout ˜
R, il existe un ensemble fini Ξ de ω-représentations elliptiques de ˜
R(F ) tel que, si ˜
π vérifie
c J
˜
G
˜
M
(Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f) = 0, alors il existe ˜
λ ∈ i ˜
A
∗
˜
R
de
sorte que ˜
π ˜
λ ∈ Ξ. Puisque f est biinvariante par un sous-groupe ouvert compact de
G(F ), il existe aussi un sous-groupe ouvert compact de R(F ) tel que la non-nullité
de
c J
˜
G
˜
M
(Ind
˜
M
˜
R
(˜ π), f) entraîne que π admet des invariants non nuls par ce compact.
Or, à torsion près par i ˜
A
∗
˜
R
, il n’existe qu’un nombre fini de ω-représentations elliptiques de ˜
R(F ) vérifiant cette propriété. D’où la finitude requise. Fixons ˜
R et
˜
π. Fixons aussi un scindage A
∗
˜
R
→ ˜
A
∗
˜
R
. On doit montrer que la fonction
μ →
c J
˜
G
˜
M (Ind
˜
M
˜
R
(˜ π μ ), f)
est de Paley–Wiener sur iA
∗
˜
R,F
. Par un changement de variables, on a
c J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π μ ), f
=
X∈ ˜
A ˜
R,F
˜
S∈P
˜
G ( ˜
R)
ω ˜
S (X)e
μ,X
ν ˜
S +iA ∗
˜
R,F
J
˜
G
˜
M
Ind
˜
M
˜
R
(˜ π ˜
λ ), f
e
− ˜
λ,X dλ.
Le raisonnement fait ci-dessus montre que la somme en X est finie indépendamment de μ. Donc, comme fonction de μ, l’expression ci-dessus est une somme
finie de termes e
μ,X . C’est donc une fonction de Paley–Wiener. Cela achève la
démonstration.
VIII.1.4 Propriétés de l’application
c φ ˜
M
On fixe ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ). Conformément à nos habitudes, on ajoute un exposant ˜
G si
besoin est pour indiquer l’espace ambiant :
c φ
˜
G
˜
M
au lieu de
c φ ˜
M .
Soit ˜
M
∈ L( ˜
M 0 ), supposons ˜
M
⊂ ˜
M . Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )),
on a
(1)
c φ
˜
G
˜
M
(f )
˜
M ,ω
=
˜
L∈L( ˜
M )
d
˜
G
˜
M ( ˜
M , ˜
L)
c φ
˜
L
˜
M (f ˜
Q,ω ),
où ˜
Q ∈ P( ˜
L) est déterminé par le choix d’un paramètre auxiliaire.